Covariância e correlação: o que são, tipos e como calcular?

A volatilidade de preços da Bolsa de Valores costuma ser vista como um fator de insegurança para muitos investidores. 

A solução para contornar essa instabilidade passa pela diversificação dos ativos comprados, de modo a minimizar riscos e diminuir as chances de prejuízos. É justamente para isso que os profissionais do mercado financeiro recorrem a ferramentas como a covariância e a correlação. 

Elas são fórmulas matemáticas que demonstram como se dão as relações entre ativos diferentes – como a variação de um papel específico pode ser interligado a valorização ou a desvalorização de outro papel. 

Ficou curioso sobre como aplicar essas fórmulas para diversificar uma carteira de investimentos de modo coerente? Então, siga comigo. Neste artigo, te explicarei melhor como funcionam cada uma dessas fórmulas, como calculá-las e que fatores observar na hora de comparar ativos! 

O que é covariância?

Grosso modo, a covariância pode ser definida como a verificação de relação entre duas variáveis. Se for nula, significa inexistência de relação entre os dados analisados; se for diferente de zero, aponta algum grau de dependência entre eles. 

No mercado financeiro, essa medida estatística pode ser utilizada para analisar o comportamento – valorização, desvalorização ou estabilidade – de um determinado ativo X quando o preço de um ativo Y sobe ou desce. Verificando, assim, se é possível estabelecer um padrão que relacione essas duas variáveis ou não.

Ao observar que dois ativos possuem a tendência de subir e cair juntos, o melhor para o investidor seria abrir mão de um deles e buscar um papel antagônico. Ou seja, uma ação que se valoriza, sempre que a outra desvaloriza, e vice-versa. Não entendeu o por quê? Deixa que eu te explico!

Imagine que você centralizou todos seus investimentos em ações de diferentes companhias do setor petroleiro. Se, por algum imprevisto, como uma crise interna ou externa, o preço do petróleo despencar, toda a sua carteira de investimentos cairá junto. O prejuízo pode ser enorme: todo seu capital inicial pode ser perdido!

É por isso que a covariância é uma ferramenta essencial na hora de compor uma carteira de investimentos equilibrada. 

Investir em ativos que se movimentam em direções opostas te auxiliará a compensar as desvalorizações, uma vez que quando um de seus papéis perde valor, o outro se valoriza. 

Quais são os tipos de covariância?

Ao aplicar a fórmula de covariância para verificar a existência de relações entre variáveis, é possível obter três tipos de resultados:

• Nulo: se o resultado for igual a zero, é sinal de que as variantes analisadas não impactam uma à outra;
• Positivo: se o resultado for um número positivo, significa que um ativo acompanha a subida e a queda do outro – ambos seguem a mesma direção;
• Negativo: quando o resultado é um número negativo, se conclui que um ativo tende a cair quando o outro sobe – os ativos seguem direções opostas.

Como calcular a covariância?

Para calcular a covariância é preciso que o investidor tenha em mãos o valor médio dos dois ativos que serão comparados, seus valores atuais e seus valores em diferentes períodos de tempo. Com isso, basta aplicar os dados à fórmula.

A fórmula da covariância é:

∑ (xi – xmed) (yi – ymed) / (n – 1)

Onde:

• ∑: somatória dos itens;
• xi: valor de “x” na posição “i”;
• xmed: valor médio de x em todas as posições;
• yi: valor de “y” na posição “i”;
• ymed: valor médio de y em todas as posições;
• n: quantidade de posições.

Para facilitar, o cálculo pode ser dividido em três partes.

Parte 1: para encontrar o valor médio do ativo X (xmed) é preciso somar os valores de todos os pontos de interesse (xi) e depois dividi-los pela quantidade de pontos. O mesmo deve ser feito com o ativo Y.

Por exemplo, considere que você está avaliando os dados relativos a três posições (i). Neles, as ações X apresentaram valores 7, 9 e 14. E as ações Y apresentaram valores 6, 7 e 5. 

Nesse caso, o valor médio será:

• Xmed: (7 + 9 + 14) / 3 = 10
• Ymed: (6 + 7 + 5) / 3 = 6

Parte 2: agora, é necessário fazer a subtração (xi – xmed) de cada um dos valores de X. 

• X1 = 7; 
• X2 = 9;
• X3 = 14;
• (x1 – xmed) = (7 – 10) = – 3;
• (x2 – xmed) = (9 – 10) = – 1;
• (x3 – xmed) = (14 – 10) = 4.

O mesmo deve ser feito com todos os valores de Y.

• Y1 = 6;
• Y2 = 7;
• Y3 = 5;
• (y1 – ymed) = (6 – 6) = 0;
• (y2 – ymed) = (7 – 6) = 1;
• (y3 – ymed) = (5 – 6) = -1.

Parte 3: dessa vez, é preciso multiplicar (xi – xmed) por (yi – ymed) em cada uma das posições.

1 = (x1 – xmed) * (y1 – ymed) = (-3) * (0) = 0

2 = (x2 – xmed) * (y2 – ymed) = (-1) * (1) = -1

3 = (x3 – xmed) * (y3 – ymed) = (4) * (-1) = -4

Depois, há que se somar todos os resultados para obter o numerador de covariância.

0 + (-1) + (-4) = -5

• A próxima etapa é substituir N do número de posições (n – 1) para encontrar o denominador. Nesse caso, temos 3 posições. Logo, o denominador é (3 – 1) = 2;
• O último passo é dividir o numerador da covariância (-5) pelo denominador (2) e descobrir se a covariância é negativa ou positiva. Nesse cálculo (-5 / 2 = -2,5), ela é negativa;
• Assim, concluímos que a covariância entre X e Y foi negativa. Logo,  X e Y são dois ativos que se movem em direções opostas.

Como a covariância é afetada por valores atípicos?

Também conhecido no campo das estatísticas pela expressão em inglês “outliers“, os valores atípicos são identificados como um dado que se afasta significativamente em número da maioria dos outros elementos apresentados em um conjunto maior. Trata-se de um problema que afeta todos os campos científicos que se valem de testes e hipóteses como ponto de partida para a tomada de decisões.

De maneira bem objetiva, amostras que apresentam algum valor atípico em meio aos itens comparados apresentam valores distorcidos ou enganosos. Essa distorção ou inconsistência pode ser refletida de diferentes formas: 

• Dificuldade de representação gráfica: outliers podem ocasionar problemas de escala.

• Alteração da direção de relação: valores muito extremados podem ocasionar inversões nos sinais de coeficientes. Por exemplo, se a maioria dos pontos de dados sugere uma relação negativa entre duas variáveis, mas um valor atípico é extremamente alto em uma das variáveis, isso pode influenciar a análise estatística de tal forma que o que era esperado ser negativo passe a ser positivo.

• Erros de interpretação: valores atípicos podem resultar em interpretações equivocadas de uma amostragem. Podem fazer com que o analista interprete que a relação entre duas variáveis é fraca quando, na verdade, essa aproximação é forte, mas foi erroneamente jogada para baixo por algum valor fora da curva.

Assim, é preciso estar atento aos outliers para não comprometer as análises de covariância. Embora incômodos, é importante que esses valores atípicos não sejam automaticamente descartados, no momento em que são identificados. Pelo contrário, sua presença demonstra a necessidade de repassar o processo de comparação para identificar a raiz desses elementos estranhos. 

Caso tenham se originado de um erro de cálculo, basta corrigi-los ou excluí-los. Se esse não for o caso, pode ser que contenham informações valiosas sobre o conjunto de dados, como a detecção de padrões de anomalia. 

Como interpretar a covariância?

Como visto, a aplicação da fórmula da covariância é utilizada para estabelecer qual a forma de relação entre dois determinados ativos. Interpretar seus resultados é essencial para montar uma carteira de ações equilibradas e minimizar riscos.

Quando o resultado obtido é igual a 0 — ou seja, nulo —, não há como estabelecer relações entre os dois ativos. Já se o resultado for positivo — superior a 0 —, significa que os dois ativos se valorizam e desvalorizam de modo sincronizado. Ainda, quando o resultado for negativo — inferior a 0 — é sinal de que os ativos possuem tendências opostas. Ou seja, quando um está em alta, o outro costuma estar em baixa.

Em resumo, os ativos com covariância positiva aumentam os riscos da carteira, enquanto aqueles com covariância negativa reduzem os riscos de grandes prejuízos. 

Vale lembrar que investir em diferentes frentes não significa comprar ativos diversos a esmo. 

A diversificação não deve ser focada apenas na compra de ações de diferentes companhias, mas também em diferentes formas de ativos e setores. Assim, caso um setor passe por alguma crise, as perdas não serão generalizadas.

O que é correlação?

De modo amplo, a correlação pode ser definida como a relação mútua entre dois termos. No mercado financeiro, ela é usada como medida estatística para analisar a relação entre duas variáveis. Te lembra algo? Não, não estou falando da covariância outra vez!

Embora possuam explicações e aplicações similares, a covariância e a correlação se diferenciam em um ponto fundamental.

Enquanto as variáveis da correlação se movem de maneira padronizada — seja em sentido positivo ou em sentido contrário —, as da covariância podem, teoricamente, variar de menos infinito a mais infinito. 

Se as fórmulas de covariância e correlação funcionam de modo distinto, o objetivo com que os investidores as analisam é sempre o mesmo: montar uma carteira de investimentos diversificada, com ativos que se relacionem de maneira oposta.

Como calcular a correlação?

Para definir a correlação é necessário encontrar o desvio padrão e a covariância dos dois ativos que estão sendo analisados. Sendo:

• ?xy a covariância;
• Pxy a correlação;
• ?x e ?y os desvios-padrão.

Fórmula de correlação

Com os dados em mão, é preciso dividir os resultados de covariância pelo produto do desvio de padrão das variáveis. 

A fórmula da correlação é:

Pxy=?xy/?x*?y

Dando um passo atrás, para encontrar o desvio padrão é preciso aplicar a seguinte fórmula:

Para tornar o cálculo mais fácil, vamos nos valer dos dados utilizados para Y no exemplo de covariância: 6, 7, 5.

Etapa 1: Calcular μ.

Nessa etapa é encontrada a média do conjunto de dados, representada pela variável μ.

μ= 6+7+5 / 3 = 6​

​Etapa 2: Calcular ∣x−μ∣²

Na sequência, se calcula a distância entre cada dado e a média, e o quadrado de cada distância.

Por exemplo, o primeiro dado é 6, e a média é 6. Então a distância entre eles é igual a 0. O quadrado dessa distância será 0.

Aplicando aos demais valores, obtemos: 1, 1.  

​Etapa 3: calcular ∑ ∣x−μ∣².

Na terceira parte são somados os valores encontrados na etapa 2 para definir o ∑.

∑ ∣x−μ∣² = 0 + 1 + 1 = 2

Etapa 4: calcular∑ ∣x−μ∣²/n em ∑ ∣x−μ∣²/n

O quarto passo é dividir o resultado alcançado na etapa 3 por N, que é o número de dados.

2 / 3 = 0,66

Etapa 5: Calcular o desvio padrão ∑ ∣x−μ∣²/n

Na última etapa, basta calcular a raiz quadrada da resposta da etapa 4. 

O desvio padrão de Y, em nosso exemplo é, portanto, 0,81.

Todos os cálculos acima, devem também ser aplicados ao X, para se obter, assim, todos os dados necessários para preencher a fórmula de correlação.

[corrigido e atualizado]

Como interpretar a correlação?

Como explicado, o cálculo de correlação implica na observação de variáveis que se movem de maneira padronizada. Em outras palavras, trata-se de uma relação linear, onde a variação de um ativo é conectado a uma variação proporcional no outro ativo com o qual ele está sendo comparado.

O coeficiente de correlação responde a uma escala que varia de -1 (perfeitamente negativa) até +1 (perfeitamente positiva).  

De acordo com a métrica:

• Uma correlação com coeficiente próximo a 0 indica que os dois ativos não apresentam relações;
• Uma correlação positiva indica que as variáveis movem-se na mesma direção. Quanto mais próxima a 1, maior a correlação;
• Uma correlação negativa indica que as variáveis movem-se em direções opostas. Quanto mais próxima a -1, maior a correlação.

Muito presente na análise técnica, a correlação serve como um ponto referencial para analisar o histórico de diferentes ativos e encontrar conexões entre seus gráficos. 

Em um cenário ideal, o investidor comporia sua carteira com ativos com coeficientes de correlação perfeitamente negativos. No entanto, devido àdevido a volatilidade da Bolsa de Valores, isso é praticamente impossível.

Como covariância e correlação são usadas em diferentes campos?

Como vimos, a covariância e a correlação podem ser aplicadas às finanças para auxiliar investidores a construir carteiras diversificadas e mais seguras. A ideia aqui é comparar a relação entre diferentes ativos para que seja possível detectar e investir em papéis que se comportem de maneira antagônica um em relação ao outro. 

Desse modo, se uma aplicação for eventualmente afetada de modo negativo pelos movimentos do mercado, um ativo que se comporta de maneira oposta a ela poderá se valorizar e compensar seu prejuízo.

Essas fórmulas matemáticas estão longe, porém, de serem ferramentas exclusivas do mercado financeiro. Do campo das ciências exatas até o das humanas, a covariância e a correlação são empregadas em uma ampla variedade de áreas de estudo como meios de validação empírica para teses e hipóteses que buscam estabelecer conexões entre diferentes variáveis.

Entre as principais disciplinas que, comumente, utilizam esses métodos estatísticos estão:

• Ciências econômicas: na economia, a covariância e a correlação são utilizadas para verificar relações entre diferentes variáveis econômicas, como inflação e desemprego, consumo e renda, variações da taxa de juros e investimentos, entre outros. Essas análises, permitem que os especialistas encontrem meios para antecipar tendências econômicas.

• Ciências sociais: a correlação e a covariância, quando aplicadas às ciências sociais, também podem ser a base para discussões de novas políticas públicas. Essas estatísticas podem apontar, por exemplo, quais as conexões entre variáveis sociais como a relação entre renda e grau de instrução, acesso à saúde pública e qualidade de vida, e assim por diante.

• Engenharia: a covariância e a correlação são base comum para os mais distintos ramos da engenharia, incluindo a engenharia elétrica, mecânica e a civil. Essas ferramentas são amplamente utilizadas para determinar relações entre variáveis e como elas, em conjunto, podem influenciar o desempenho e o comportamento de sistemas complexos.

• Medicina: além de atestar, por exemplo, a eficiência de novos medicamentos e suas aplicações comuns, a covariância e a correlação também podem ser aplicadas de maneira ampla, de modo a validar teses mais amplas como as relações entre o consumo de cigarro e o desenvolvimento de câncer de pulmão e a relação entre o consumo de determinados produtos e a incidências de condições de saúde.

• Marketing: elas podem ser empregadas como forma de comprovar o sucesso ou fracasso no lançamento de uma nova campanha ou produto, qual a influência do preço sobre a demanda, qual o impacto de determinada publicidade em um público direcionado, entre outros.

• Ciências naturais: ambas ainda podem ser aplicadas para compreender as conexões entre variáveis em estudos ambientais, geológicos, climáticos e biológicos. Podem estabelecer conexões, por exemplo, entre a presença de determinados nutrientes no solo e o crescimento de uma variedade de planta, ou ainda a conexão entre o efeito estufa e mudanças climáticas, entre outras.

• Meteorologia: elas estabelecem relações entre variáveis atmosféricas, como temperatura e umidade, possibilitando a previsão do tempo.

• Física: a covariância e a correlação são usadas nos mais diferentes exercícios da físicada físicas, podendo estabelecer conexões entre variáveis como a pressão e a densidade em fenômenos geofísicos, ou a luminosidade das estrelas e suas temperaturas, entre outros.

• Psicologia: por fim, ambas são também ferramentas de grande importância para o campo da psicologia, uma vez que podem estabelecer conexões entre comportamentos repetitivos e a exposição a determinadas situações.

O que é coeficiente de determinação?

Também conhecido como R², o coeficiente de determinação busca medir, em termos percentuais, as possibilidades de variação de um ativo com base nas mudanças de um ativo Y. 

Em outras palavras, ele demonstra uma “média de acerto” para o coeficiente de correlação — ou seja, o quanto das variações de X pode ser explicado pelas variações de Y e vice-versa.

  O R² varia entre 0 e 1. Quanto maior o seu coeficiente, melhor ele se ajusta à amostra de dados coletados.   

Para encontrar o coeficiente de determinação basta elevar o valor de correlação ao quadrado e multiplicá-lo por 100.

Imaginemos que o coeficiente de correlação de dois ativos é igual a 0,77. Nesse caso a fórmula do R² seria:

R2= (0,77 x 0,77) x 100 = 0,59

Assim, chegamos a conclusão de que 59% das variações do ativo X estão diretamente relacionadas às variações do ativo Y. 

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