Saber interpretar e utilizar números, planilhas e cálculos representa muito mais que uma parte das atividades que compreendem a rotina profissional de investidores, analistas, bancários e gestores. 

Tal como as cores para um pintor ou as palavras para um escritor, a matemática financeira é o elemento primordial do trabalho prestado ou exercido por qualquer personagem dentro do mercado financeiro

A aplicação de determinadas fórmulas financeiras pode ser, por exemplo, o fator determinante para comprar ou vender um papel, ou mesmo para precificá-lo. Pode ainda ser utilizada para definir qual a melhor forma de aplicação para obter os retornos esperados, ou para estabelecer a taxa de juros necessários para compensar um empréstimo, e muito, muito mais.

Ao longo deste artigo, mais do que demonstrar como a matemática financeira é aplicada na prática, te apresentarei 16 fórmulas bastante comuns na rotina dos profissionais do mercado financeiro, e como utilizá-las a seu favor. 

Interessado? Então, vem comigo para conferir tudo o que você precisa saber sobre conceitos como: juros simples e juros compostos, porcentagem, taxas, descontos, percentuais, entre outros!

O que é matemática financeira?

A matemática financeira é uma área prática da matemática que se dedica ao estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, suas aplicações, controle e organização. 

Para além de uma ciência do conhecimento, é, dessa forma, um instrumento de grande utilidade tanto para a administração da saúde financeira pessoal ou de uma organização.

Por mais que Louis Bachelier (1870 – 1946), o precursor da teoria moderna de probabilidades, seja reconhecido como o pai da matemática financeira, não é possível definir as raízes dessa área de estudo, uma vez que elas precedem a própria existência da moeda. Consegue imaginar a magnitude de um conceito tão antigo assim?

Os sumérios, por exemplo, pagavam o empréstimo de sementes, com parte da colheita, como se fosse uma espécie de acréscimo “de juros” da época. A aplicação de práticas de escambo como essa estão presentes na “A aritmética de Treviso”, de 1478, considerada o primeiro registro impresso de matemática financeira da história.

Hoje em dia, a aplicação de suas fórmulas é utilizada para estabelecer um panorama sobre as finanças, encontrando maneiras de reduzir custos e evitar perdas, bem como meios de aplicar o dinheiro da melhor maneira possível para fazê-lo render. 

Os problemas clássicos da matemática financeira estão relacionados a determinação do valor do dinheiro ao longo do tempo — juros e inflação —, e a aplicação desse valor em empréstimos, investimentos e na viabilidade de projetos. No mercado de ações, ela é utilizada, também, na precificação de ativos e derivativos.

 Para que servem as fórmulas em matemática financeira?

As fórmulas financeiras são utilizadas como ferramentas para administração de contas pessoais ou empresariais. Sua utilização tem como grande objetivo identificar como se comporta o valor do dinheiro no decorrer do tempo, avaliando a viabilidade de empréstimos, investimentos ou projetos futuros.

Entre as utilizações mais comuns das fórmulas financeiras, é possível citar:

  • Aplicação de taxas de juros;
  • Empréstimos e financiamentos;
  • Fluxos de caixa em empresas;
  • Investimentos e aplicações financeiras;
  • Negociações de dívidas;
  • Porcentagem de desconto de algum produto.

Como visto, ao contrário do que possa parecer a um leigo, o uso da matemática financeira extrapola os escritórios de contabilidade. Ela pode ser aplicada na gestão empresarial, na administração de carteiras de investimentos, e mesmo na rotina da vida financeira de pessoas físicas.

Por que a matemática financeira e suas fórmulas são importantes?

Compreender o básico de matemática financeira e saber utilizar suas fórmulas é essencial para administrar um patrimônio, projetar e alcançar objetivos financeiros pessoais, bem como para garantir o funcionamento e desenvolvimento de uma empresa

A título de exemplo, seguem algumas situações costumeiras onde essas fórmulas são utilizadas: 

  • Investimentos: as fórmulas financeiras são determinantes para realizar negociações na bolsa, fazer análises comparativas entre companhias, antecipar cenários, calcular taxas de retorno, entre outros;
  • Finanças pessoais: pode ser utilizada, por exemplo, na obtenção de um financiamento para aquisição de um imóvel ou de um veículo, na escolha do melhor plano de aposentadoria ou mesmo para calcular qual o percentual de desconto na compra de um produto à vista. Elas são, portanto, diretamente ligadas à concretização de objetivos e sonhos pessoais e na melhoria da qualidade de vida;
  • Gestão empresarial: as fórmulas financeiras representam a saúde financeira de uma companhia. Por meio de seus cálculos, é possível determinar, entre outras coisas, o lucro bruto e líquido, os gastos e as despesas, e a possibilidade de expansão ou abertura de novos mercados.

Como saber qual fórmula usar em matemática financeira?

Basta olhar para uma calculadora financeira para se dar conta que, muito além das quatro operações básicas, a matemática financeira lida com uma imensidade de fórmulas, cada qual, aplicada na solução de um problema específico.

Pode-se dizer, portanto, que as fórmulas financeiras são ferramentas que auxiliam na resolução de situações-problemas que envolvem dinheiro. Dessa forma, definir qual a melhor fórmula a ser aplicada, exige primeiro a compreensão do problema e o objetivo de sua aplicação. 

Embora possa parecer confuso em um primeiro momento, na prática, como veremos, definir o problema e memorizar a fórmula não é tão difícil quanto parece, uma vez que se tratam de situações rotineiras.

  Para definir a taxa de juros, por exemplo, é utilizada a fórmula de juros simples ou de juros compostos. Para descobrir qual os juros acumulados, usa-se a taxa equivalente. Já para definir se a compra ou venda de um ativo é ou não um bom negócio, pode-se calcular seu valor presente e futuro, e assim por diante. 

Mas não se preocupe com isso agora! Mais adiante, vou te apresentar e explicar onde, quando e como usar cada uma das 16 principais fórmulas do mercado financeiro.  

Antes disso, porém, ainda é preciso compreender os conceitos básicos que compõem cada uma dessas fórmulas.

 Quais os conceitos básicos em matemática financeira?

Compreender os conceitos básicos da matemática financeira — aqueles representados como “símbolos” nas calculadoras financeiras —, é como entender o alfabeto das finanças. Antes de aplicar qualquer fórmula, é prudente, portanto, saber o que significam os elementos que a constituem. 

Se você já está ciente do problema financeiro que quer resolver e já encontrou a fórmula que deve ser aplicada para solucioná-lo, mas não compreendeu o significado e a função de todos os elementos presentes nela, é preciso retroceder um passo.

 Antes de aplicar qualquer cálculo, é necessário ter completa noção do significado e do porquê de cada um de seus elementos para não correr o risco de trocar sal por açúcar.

Para refrescar a memória, separei abaixo os conceitos mais comuns de serem encontrados nas fórmulas financeiras utilizadas rotineiramente por profissionais do mercado financeiro. Siga comigo!

Valor presente (PV)

Uma vez que a própria matemática financeira é conceituada como o estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, não é difícil compreender que um montante recebido no futuro não vale igualmente o mesmo montante recebido hoje. 

É por isso que um dos conceitos comumente usados no mercado financeiro é o valor presente (PV) que, como o próprio nome sugere, trata-se do valor do dinheiro no momento atual

Esse conceito é utilizado para estimar quanto vale um ativo no dia presente. Por meio dele, é possível descobrir, ainda, qual será o valor desse papel no futuro, e que fatores interferem em sua precificação. 

Na prática, o valor presente é a quantia que você precisaria em reais de hoje para ganhar um determinado retorno futuro, baseado na taxa de retorno especificada. 

 Pagamentos de mesmo valor (PMT)

Outro termo auto-explicativo, o pagamento de mesmo valor (PMT) diz respeito aos pagamentos recorrentes registrados pelo fluxo de caixa. Também tratados como “valor de parcela“, eles se referem tanto a valores repetidos pagos, quanto valores repetidos recebidos.  

Esse conceito aparece em diferentes fórmulas que buscam compreender a realidade financeira de uma pessoa física ou jurídica, ou para fazer projeções a partir disso. 

O PMT costuma ser mensal, mas também pode ser um valor anual, normalmente com vencimentos sempre no mesmo dia. 

Alguns exemplos comuns de pagamentos de mesmo valor são:

  • Aluguéis a pagar ou receber;
  • Parcela de uma compra sem juros;
  • Pagamento de contas fixas como: instituto de ensino, academia, entre outros;
  • Parcela fixa de recebimento de uma venda realizada;
  • Prestação fixa de empréstimo ou financiamento.

 Capital (C)

Na matemática financeira, capital (C) é o valor inicial aplicado em um investimento, ou o custo inicial de um produto ou serviço, à vista e sem a inserção de taxas. Esta quantia pode, portanto, corresponder a uma dívida, investimento ou empréstimo.

Conceito dos mais básicos, trata-se do valor principal ou inicial de qualquer operação financeira. Normalmente, é representado nas fórmulas financeiras pela letra “C”, embora também apareça, vez ou outra, como “P”.

Juros (J)

Termo dos mais populares, os juros (J) podem ser compreendidos como uma compensação financeira por um empréstimo, uma vez que, como visto, o valor do dinheiro tende a desvalorizar com a passagem do tempo. É, portanto, uma remuneração que parte da correção monetária de uma aplicação. 

Os juros são calculados em toda sorte de fórmulas: para especificar custos de valores tomados emprestados; retornos de valores investidos; e mesmo a diferença de valores entre uma compra comercial feita à vista e a prazo.

Os juros podem ser calculados de acordo com duas formas de capitalização: simples ou composta.

  • Juros simples: são os juros que incidem apenas em cima do capital inicial e cujo valor se mantém sempre o mesmo;
  • Juros compostos: popularmente conhecidos como “juros sobre juros”, incidem sobre o valor atualizado da aplicação, progredindo, de maneira exponencial. Ou seja, cada cobrança mensal será superior à anterior, considerando a correção monetária entre cada parcela.

Taxa de Juros (i)

Enquanto os juros podem ser lidos como a remuneração pelo tempo que o credor ficará sem o dinheiro emprestado em mãos. A taxa de juros, por sua vez, é o valor acordado entre o credor e o devedor para calcular essa compensação.

Representada nas fórmulas financeiras pela letra “I”, a taxa de juros é o percentual que determina as correções monetárias sobre um valor inicial emprestado. Essa taxa está sempre associada a um prazo estabelecido previamente: podendo ser cobrada por dia, mês ou ano.

Vale lembrar que, nas operações matemáticas, a taxa de juros necessita sempre ser alterada para sua forma decimal ou unitária. Para isso, basta dividir a taxa percentual por 100. Uma taxa de 30%, por exemplo, é calculada como 0,30 (30 / 100). 

Para converter uma taxa unitária em percentual, basta realizar o processo contrário. Ou seja, multiplicar o valor por 100. No mesmo caso demonstrado anteriormente: 0,3 seria igual 30% (0,30 x 100).

 Montante (M)

O montante é o resultado da soma do capital inicial e dos juros acrescidos ao longo do tempo. Ou seja, é o valor total pago em uma operação. 

Nas fórmulas financeiras, pode ser representado pelas letras “M” ou “S”. Em calculadoras financeiras aparece como “FV” (future value) ou “VF” (valor futuro).

Acréscimo

O acréscimo é o valor adicionado a um produto ou serviço, que teve um aumento de preço

Embora possa causar alguma confusão, esse valor se difere dos juros, uma vez que o acréscimo não remunera o investimento de um capital inicial, mas apenas acrescenta uma quantia na aquisição de algum bem. 

O acréscimo pode ocorrer por uma simples tentativa de aumento da lucratividade.  Ou pode, ainda, ser resultante de fatores diversos que encarecem o serviço prestado ou o produto vendido, tais como: a elevação dos custos de determinada matéria-prima, de impostos, da mão de obra, entre outros.

Desconto

Antônimo de acréscimo, o desconto é o conceito financeiro que representa o valor ou percentual deduzido do preço inicial de um produto ou serviço.

Nesse caso, é comumente utilizado como estratégia de venda, ou mesmo uma forma de reduzir o estoque, para a chegada de uma nova linha de novos produtos, entre outros.

Lucro

Lucro é o valor resultante da subtração das receitas e despesas na realização da atividade de uma empresa ou de uma operação financeira qualquer. Ou seja, é o retorno positivo de uma aplicação, descontado o capital inicial investido e demais custos envolvidos no processo.

Quando se refere aos resultados apresentados por uma companhia, o lucro pode ser calculado de duas maneiras diferentes: bruto e líquido.

  • Lucro bruto: é o resultado da subtração da receita por seus custos variáveis;
  • Lucro líquido: consiste na subtração da receita por todos os custos fixos e variáveis da operação. Chamado também de “dinheiro limpo”, esse é o valor que uma empresa gera aos acionistas por meio de suas atividades.

 Quais as principais fórmulas da matemática financeira?

Uma vez que os conceitos básicos de finanças já foram explicados, bem como a importância e a utilização da matemática financeira no dia a dia já foi devidamente esclarecida, é hora de passar à prática.

Siga comigo e te apresentarei as 16 fórmulas mais comuns da matemática financeira, onde aplicá-las e claro: tudo com exemplos simples, para que esses cálculos não saiam mais da sua cabeça.

Fórmula do montante

A fórmula  do montante é a seguinte:

M = C + J

Onde:

M: montante;

C: capital inicial;

J: juros.

O montante é o valor correspondente à soma do capital inicial e dos juros aplicados sobre ele, ao longo de todo o período especificado. 

Esse é o cálculo que é aplicado, por exemplo, quando ocorre o atraso de uma dívida, uma vez que ela será alterada pelo acréscimo de juros.

Exemplo de montante:

Considere uma operação simples, onde o valor investido foi de R$4.000 e a soma dos juros acrescidos sobre esse valor foi de R$800,00. Nesse caso, a fórmula seria:

M = 4.000 + 800

M = 4.800

Assim, aplicando os dados hipotéticos à fórmula, o montante seria de R$4.800,00.

Vale destacar que para definir o montante, é preciso primeiro calcular o valor total dos juros. 

Fórmula de juros simples

A fórmula de juros simples é a seguinte:

J = C . i . t

Onde:

C: capital inicial;

J: juros;

t: tempo;

i: taxa de juros (em casas decimais, não em porcentagem).

A fórmula de juros simples é utilizada em operações onde se aplica uma correção monetária apenas em cima do montante inicial. Expressa em porcentagem, essa correção se manterá com o mesmo valor durante todo o tempo decorrido até a quitação da dívida. 

Em termos práticos, os juros simples são calculados por meio da multiplicação do capital inicial, pela taxa de juros e então pelo tempo decorrido. Esse tipo de aplicação costuma ser aplicada em certas modalidades de investimento e em vendas de curto prazo (dinheiro que entra) e na quitação de compras parceladas e empréstimos (dinheiro que saí).

Exemplo de juros simples:

Presuma que você fez uma venda no valor de R$4.000,00, em 5 parcelas, com uma taxa de juros mensal de 4%. Nesse caso, a fórmula seria:

J = 4.000 x 0,04 x 5 = 800

Aqui, os juros somaram R$800,000. O valor total da venda seria, portanto, de R$4.800,00.

Fórmula de juros compostos

A fórmula de juros compostos é a seguinte:

M = C . (1 + i)^t

Onde: 

M: montante;

C: capital;

i: taxa de juros;

t: tempo decorrido.

Os chamados juros sobre juros são calculados sobre valor atualizado de uma aplicação, aumentando de forma exponencial, a cada nova parcela. 

Essa é a fórmula que costuma ser utilizada na grande maioria das operações financeiras, tais como: empréstimos, financiamento, poupança, entre outras.

Exemplo de juros sobre juros:

Se valendo dos valores aplicados no exemplo anterior, imagine que você emprestou a mesma quantia de R$4.000,00 com taxa de 4% ao mês, porém, dessa vez, com juros compostos. Nesse cenário, a fórmula seria:

M = 4.000 x (1 + 0,04)^5

M = 4.866,61

Lembre que agora já não existirá uma taxa mensal fixa, uma vez que a taxa de juros de 4% incidirá sempre sobre o valor pago na parcela que o antecedeu — juros sobre juros. Para não se perder, observe como os juros são acrescidos de forma exponencial, nesse tipo de operação:

  • 1º mês: rendimento de R$160,00  (montante: R$4.160,00); 
  • 2º mês: rendimento de R$166,40 (montante: R$4.326,40);
  • 3º mês: rendimento de R$173,06 (montante: R$4.499,46); 
  • 4º mês: rendimento de R$179,97 (montante: R$4.679,43);
  • 5º mês: rendimento de R$187,18 (montante: R$4.866,61).

Nesse sentido, utilizando os mesmos valores em ambos exemplos, é possível observar uma variação de ganho de R$66,61 entre a mesma venda, quando substituída a taxa de juros simples pela taxa de juros compostos.

Fórmula da taxa equivalente

A fórmula da taxa equivalente é a seguinte:

1 + ia = (1 + ip)^n

Onde:

ia: taxa anual;

ip: taxa período;

n: tempo decorrido.

A fórmula da taxa equivalente é utilizada para fazer a equivalência entre as taxas anuais e mensais de juros. Em outras palavras, ela calcula o quanto uma taxa de juros compostos anual representa mensalmente e vice-versa.

Exemplo de taxas equivalentes:

Para descobrir quanto seria a taxa de juros anual de um financiamento cuja taxa de juros mensal é de 3%, basta transformar a porcentagem em casas decimais e aplicar os dados à fórmula:

3% = 3/100 = 0,03

1 + ia = (1 + 0,03)^12

1 + ia = 1.03^12

1 + ia = 1,4257

ia = 1,4257 – 1

ia = 0,4257

ia = 42,57%

Logo, a taxa anual de juros equivalente a 3% ao mês é de 42,57%.

Não é incomum em exemplos como esse que, por desatenção ou desconhecimento, as pessoas simplesmente multipliquem a taxa de juros mensal pelo número de meses. Nesse caso, obtendo: 3% x 12 = 36%. 

Esse erro banal, que pode se tornar uma dor de cabeça ao fazer um financiamento, por exemplo, ocorre porque sem o uso da fórmula correta não é possível mensurar as variações ocasionadas pelos juros compostos.

Fórmula da Taxa nominal de juros

A fórmula da taxa nominal de juros é a seguinte:

J / C

Onde: 

j: total de juros pagos (não a porcentagem);

C: valor nominal do capital aplicado.

A taxa de juros nominais são os chamados “juros aparentes”. Ou seja, representam, o quanto, aparentemente, um investidor lucrou com determinada aplicação

Essa é a taxa de juros explícita em contratos de empréstimos, financiamentos ou em aplicações financeiras. Mas que ao contrário do que possa parecer, como demonstrarei mais adiante, quase nunca representa a rentabilidade real do investidor.    

Exemplo de taxa nominal: 

Para essa situação, pense em um investimento onde o capital aplicado foi de R$20.000, com retorno de R$24.000,00 ao fim de um ano. Nesse caso, a fórmula seria:

4.000 / 20.000 = 0,2

0,2 = 20%

A taxa nominal de juros desse investimento seria de 20%. Em outras palavras, esse seria o lucro aparente do investidor.

Fórmula da Taxa real de juros

A fórmula da taxa real de juros é a seguinte:

(1 + in) = (1 + r) . (1 + j)

Onde:

in: taxa de juros nominal;

j: taxa de inflação do período;

r: taxa real de juros.

Como antecipado no exemplo anterior, a taxa nominal de juros expressa em contratos não representa o lucro real obtido pelo investidor em uma operação. Para descobrir esse valor, é necessário aplicar a fórmula da taxa de juros real, a qual considera a ação da inflação sobre o rendimento no período determinado.

Para calcular essa taxa, é preciso, primeiramente, estabelecer dois valores:

  • Taxa de juros nominal: o ganho aparente, ou seja, a rentabilidade do investidor;
  • IPCA: o “Índice Nacional de Preços ao Consumidor”, ou seja, a taxa de inflação acumulada no período. 

Com isso em vista, é fácil deduzir que a taxa de juros nominal e a taxa de juros real só serão perfeitamente equivalentes em situações onde a inflação for igual a zero. O que raramente ocorre.

Tão difícil quanto é existir uma taxa de juros real superior a taxa de juros nominal. Uma vez que para isso, a taxa de inflação acumulada no período teria de ser negativa.

O comum, portanto, é que o lucro real seja inferior ao lucro aparente.

Exemplo de taxa real:

Para deixar tudo mais claro, considere o mesmo cenário do exemplo anterior, incluindo, porém, um IPCA acumulado de 4% no período. Agora observe como o lucro aparente de 20%, será distinto do lucro real:

in = 20% = 0,2

j = 4% = 0,04

r = ?

(1 + in) = (1 + r) . (1 + j)

(1 + 0,2) = (1 + r) . (1 + 0,04)

1,2 = (1 + r) . (1,04)

1,2 =  1,04 + 1,04r

1,2 – 1,04 = 1,04r

0,16 = 1,04r

r = 0,16 / 1,04

r = 0,1538

r = 15,38%

Logo, diante dessa suposição, é possível observar que o lucro real obtido pelo investidor na negociação é de 15,38%. Ou seja, 4,62% inferior ao lucro nominal de 20%.

Fórmula da Taxa efetiva

A fórmula da taxa efetiva de juros é a seguinte:

r = (1 + i/n) ^ n – 1 (juros simples)

Onde: 

r: taxa efetiva de juros;

i: taxa nominal de juros;

n: quantidade de períodos compostos no prazo de um ano.

ou

r = e^i – 1 (juros compostos)

Onde: 

r: taxa efetiva de juros;

i: taxa nominal de juros;

e: constante 2,718.

A fórmula da taxa de juros efetiva é utilizada no mercado financeiro como uma taxa de juros de referência para diferentes períodos de capitalização

Esse cálculo se vale dos juros compostos da taxa nominal ou  declarada. Quando corrigida pela inflação durante o período, ela forma a taxa real.

Exemplo de taxa efetiva:

Suponha que você queira, por exemplo, descobrir o juro de referência para uma taxa de juros nominal mensal de 3%, aplicada durante o período de um ano. Nesse caso, a fórmula resultante seria:

r = [(1 + 0,03 / 12)^12] – 1

r= 1,0025^12

r = 1,0304

r = 1,0304 – 1 = 0,0304

r = 3,04%

Logo a taxa de juros efetiva com base em um juros nominal de 3% durante um ano, corresponde a 3,04% ao mês.

Fórmula do valor presente

A fórmula do valor presente é a seguinte:

VP = VF/ (1 + i)^n

Onde:

VP: valor presente;

VF: valor futuro;

i: taxa de juros vigente;

t: período de tempo.

A fórmula do valor presente é utilizada para definir o quanto de dinheiro hoje seria necessário para alcançar uma quantia determinada de dinheiro no futuro, baseado na taxa da margem sobre investimento (MOI). Para isso, é necessário estipular o valor futuro e deduzi-lo ao dia atual.

Esse cálculo é uma ferramenta de grande importância para investidores, uma vez que por meio dele se estipula o valor futuro de um ativo, e qual a taxa de investimento necessária para que esse investimento traga retorno.

Exemplo de valor presente:

Para esse cálculo,  considere uma análise que estima que uma empresa é capaz de gerar um fluxo de caixa de R$40 milhões em 12 meses. Considerando uma taxa de 13% ao ano, representativa da Selic em março de 2023, o cálculo seria:

VP = 5.000.000 / (1 + 0,13) ^1

VP = 5.000.000 / 1,13 ^1

VP = 5.000.000 / 1,2769

VP = 3.915.733,41

Assim, o valor atual dessa empresa seria R$3.915.733,41, o que representa uma  diferença de mais de R$1 milhão. 

Fórmula do Valor futuro

A fórmula do valor futuro é a seguinte:

VF = VP . (1 + i)^n

Onde:

VF: valor futuro;

VP: valor presente;

i: taxa de juros vigente; 

n: período de tempo.

A fórmula do valor futuro é amplamente utilizada por investidores para determinar o preço de um investimento em uma data futura determinada. Ou seja, é o valor atualizado de um montante. 

Exemplo de valor futuro:

Pressuponha que você fez uma aplicação de R$20.000,00 com uma taxa de juros mensal de 10%, em um prazo de 6 meses. Nesse cenário, o cálculo a ser utilizado seria:

VF = 20.000 . (1 + 0,10)^6

VF = 20.000 . 1,771561

VF = 35.431,22

Ou seja, o retorno desse investimento seria igual a  R$15,431,22.

Fórmula da porcentagem

Um dos conceitos mais básicos e usados no mundo financeiro, a porcentagem não possui uma fórmula específica. É possível calculá-la, por exemplo, por meio de uma regra de três simples, ou multiplicando o percentual que se deseja descobrir pelo capital inicial/ valor presente.

Também conhecida como percentual ou razão centesimal, diz respeito a uma determinada parte de cada 100 partes. Representada pelo símbolo “%”, em número decimal ou fração, é usada em comparações de valores, apontando quedas e crescimentos. 

Comercialmente pode ser utilizada para definir descontos ou taxas de juros, entre outros.

Exemplo de porcentagem:

Pense no caso de uma empresa cujo produto carro-chefe representa 20% de seus ganhos, supondo um faturamento médio mensal de R$300.000,00. Nesse caso, um cálculo de porcentagem possível seria:

20 X 300.000 = 6.000.000 / 100 = 60.000

Logo, esse produto gera um lucro mensal de R$60.000,00. 

Fórmula de variação percentual

A variação percentual também pode ser calculada de diferentes maneiras. As formas mais simples de realizar essa equação são as seguintes:

  • Para variação percentual de aumento:

Variação percentual de aumento = (valor maior – valor menor / valor menor) . 100

  • Para variação percentual de redução:

Variação percentual de redução = (valor maior – valor menor / valor maior) . 100

A variação percentual é uma fórmula presente  em análises diversas, sendo, por exemplo, uma amostra de sucesso ou fracasso de alguma determinada aplicação. Na gestão empresarial, pode ser utilizada para atestar o aumento ou a queda do fluxo de caixa em um período determinado, entre outros.

Exemplo de variação percentual:

Para facilitar, considere que em dezembro, devido ao Natal, o mesmo produto anterior que costuma gerar um lucro mensal médio de R$60.000,00, acabou gerando R$130.000,00. Nesse caso, para calcular a variação positiva apresentada no período, o cálculo seria:

Variação percentual de aumento = (130.000 – 60.000 / 60.000) . 100

1.1666 . 100 = 116.66%

Ou seja, em dezembro, a variação positiva representou um aumento de 116.66%.

Agora, imagine que em janeiro do ano seguinte, esse produto teve uma queda de rendimento, vendendo apenas R$20,000. Nesse caso, o cálculo de variação percentual negativo, com base no lucro médio, seria:

Variação percentual de aumento = (60.000 – 20.000 / 60.000) . 100

0,6666 x 100 = 66,66%

Ainda, seria possível calcular a queda percentual entre dezembro e janeiro:

(130.000 – 20.000 / 130.000) . 100

0,8461 . 100 = 84,61%

Assim, a queda percentual do produto, quando considerada a média histórica, foi de 66.66%. Essa queda teria sido ainda maior (84,61%) se considerada apenas a diferença apresentada entre os meses de dezembro e janeiro.

Fórmula da razão e da proporção

Dois dos cálculos mais comuns e, de igual modo, mais fáceis da matemática financeira. As fórmulas de razão e proporção são as seguintes:

  • Razão:

A / B

  • Proporção:

A / B (valor incógnito a ser descoberto)  = C / D

Em suma, a fórmula da razão compara duas grandezas, resultando no coeficiente em comum entre elas. Para isso, basta dividir o valor A pelo valor B.

A fórmula da proporção, por sua vez, é definida pela igualdade entre duas razões. Ela é usada, portanto, para descobrir um valor desconhecido — a “quarta proporcional” — com base em três valores conhecidos. 

Exemplo de razão e proporção:

Considere que você tem R$70.000,00 totais por receber de dois empréstimos. Desses, R$50.000,00 devem ser pagos pelo devedor A, e R$20.000 pelo devedor B. 

Nesse cenário, a razão entre a dívida de A e o total por receber é igual a:

50.000 / 70,000 = 0,71 (71%)

Ainda, a razão entre a dívida de B e o total por receber é igual a:

20.000 / 70.000 = 0,29 (29%)

A dívida da personagem A, portanto, corresponde a 71% do total por receber; enquanto à personagem B cabe a fatia de 29%.

Fórmula da regra de três simples e composta

A regra de três simples é a seguinte.

x = (B x C) / A 

A regra de três composta é a seguinte:

A / B (valor por encontrar) = (D / C) = (E / F)

As fórmulas de regra de três simples e composta são utilizadas para encontrar um valor incógnito, com base em dois ou mais valores conhecido com grandezas direta ou indiretamente proporcionais.

Exemplo de regra de três:

Imagine uma empresa que fatura R$10.000 diariamente com a venda de 50 itens de um determinado período, e esteja pensando em expandir a produção desse artigo para 80. Para determinar qual seria o faturamento diário com esse incremento de produção, a fórmula ficaria assim:

50 = 10.000

80 = x

80 x 10.000 = 800.000

800.000 / 50 =  16.000

Assim, aumentando a produção diária do item determinado, o lucro oriundo dessa progressão seria de R$16.000,00. Ou seja, representaria um incremento de R$6.000 aos rendimentos diários da empresa.

Ainda seguindo no mesmo exemplo, obviamente, o aumento da produção também acarretaria em aumento de custos operacionais, tais como: matéria-prima e mão de obra, entre outros. 

Desse modo, além do incremento do lucro, seria importante, de igual modo, ter uma ideia de o quanto seria o aumento dos custos operacionais. 

A resolução desse problema se dá pelo uso da regra de três composta.

Para essa situação, considere, portanto, que o custo produtivo de 50 produtos é de R$1.500,00. Para descobrir qual será o custo envolvido na produção de 80 itens, a fórmula ficaria assim:

1.000 = 50 = 10.000

x = 80 = 16.000

O primeiro passo para solucionar esse tipo de fórmula é multiplicar os valores conhecidos:

50 x 10.000 = 500.000

80 x 16.000 = 1.280.000

Agora, basta incluir os resultados em uma regra de três simples, em conjunto com o dado incógnito a ser revelado.

1.500 = 500.000

x = 1.280.000

1.920.000.000 / 500.000 = 3.840

Ou seja, os custos produtivos dessa operação iriam subir de R$1.500,00 para R$3.840.

Para finalizar esse exemplo hipotético, é possível afirmar que ao produzir 30 itens a mais por hora, os lucros obtidos seriam R$6.000,00 superiores; os gastos, por sua vez, aumentariam em R$2.340,00.    

Fórmulas das frações

A fração nada mais é do que o total dividido por partes iguais. Ou seja: a divisão entre dois números.

Dessa forma, sua fórmula pode ser representada da seguinte forma:

a / b

Onde:

a: numerador, ou seja, o dividendo (o que será dividido);

b: denominador, ou seja, o divisor (em quantas partes será dividido).

Considerando os valores expressos no numerador e no denominador, as frações podem ser classificadas de diferentes formas: própria, imprópria, aparente, equivalente, irredutível e mista. 

  • Fração própria: é a fração em que o valor do numerador é menor que o valor do denominador. 

Por exemplo: 1 / 2;

  • Fração imprópria: oposto da fração própria, a fração imprópria se dá quando o valor do numerador é maior que o valor do denominador. 

Por exemplo: 10/2;

  • Fração aparente: a fração aparente ocorre quando o valor da divisão entre o numerador e o denominador resulta em um número inteiro. 

Por exemplo: 12/4 = 3;

  • Fração equivalente: quando duas ou mais frações são comparadas, elas são equivalentes sempre que representam a mesma parte em relação ao todo. 

Por exemplo: 5/10 = 20/40 = 50 / 100 (todos os resultados representam a metade do que se está sendo dividido);

  • Fração irredutível: é a representação mais simples de uma quantidade a se dividir, ou seja, essa fração acontece quando não há nenhum número que seja capaz de dividir o numerador e o denominador ao mesmo tempo. É, em outras palavras, um valor que não pode ser reduzido em escala.

Por exemplo: a fração 12/9 pode ser simplificada para 4/3, uma vez que ambas podem ser divididas por 3. O numerador 3 e o denominador 4, porém não podem ser divididos simultaneamente por nenhum número maior que 1. Logo 4/3 é uma fração irredutível;

  • Fração mista: também chamada de “número misto”, é a representação de um número que possui uma parte inteira e outra fracionada.

Por exemplo: 3 3/4. Ou seja, três e três quartos.

Exemplo de uso da fórmula de fração: 

Suponha uma situação simples onde o lucro de R$50.000 obtido com uma venda deve ser dividido igualmente entre 4 partes. Nesse caso, a fórmula ficaria assim:

50.000 / 4 = 12.500

Assim, cada fração dessa venda corresponderia a R$12.500. 

Fórmula de desconto simples racional

Existem diferentes fórmulas para desconto simples racional. Todas provenientes naturais do cálculo padrão para juros simples. 

Entre as fórmulas possíveis de desconto simples estão:

  • Dr = VF – VP (para calcular o desconto com base no valor futuro e no valor presente);
  • Dr = VP . i .n (para obter o desconto quando o Valor Presente, a taxa de desconto e os períodos são conhecidos); 
  • Dr = (VF . i . n) / (1 + i . n) (utilizada quando o valor presente é desconhecido);
  • VP = VF / (1 + i . n) (cálculo do valor atual no desconto por dentro).

Onde:

Dr: desconto realizado;

VP: valor presente;

VF: valor nominal;

i: taxa de desconto;

n: número de períodos descontados.

Também conhecido como “desconto real” ou “desconto por dentro”, essa fórmula é usada no cálculo do juro produzido pelo valor atual de um ativo — ou seja, o valor presente. Ela considera, além disso, a taxa fixada e o tempo correspondente.

Exemplo de desconto simples racional:

Considere uma promissória com valor nominal de R$25.000,00, com vencimento para um 1 ano e taxa anual de juros fixada em 30%. Caso seja pretendida uma antecipação de 4 meses para o pagamento, o desconto poderia ser encontrado do seguinte modo:

Dr = (VF . i . n) / (1 + i . n)

Dr = (25.000 . 0,3 . 4/12) / (1 + 0,3 . 4/12)

Dr = ( 25.000 . 0,3 . 0,33) / (1 + 0,3 . 0,33)

Dr = 2.475 / 1,099

Dr = 2.252,04

Assim sendo, o desconto proporcionado pela antecipação de 4 meses sobre um montante de R$25.000,00 seria de R$2.252,04.

Fórmula de desconto simples comercial

A fórmula de desconto simples comercial é a seguinte:

d = N . i . n

Onde:

d: valor do desconto;

N: valor nominal do título;

i: taxa de desconto;

n: tempo (antecipação do desconto).

A fórmula de desconto comercial incide sempre sobre o montante, ou o valor futuro. Esse tipo de fórmula é comumente utilizada em operações de empréstimo, quando o devedor antecipa o pagamento, ocasionando um abatimento sobre o título de crédito original.

Exemplo de desconto simples comercial:

Imagine um título de R$20.000,00 descontado à taxa de 3% ao mês, faltando 18 dias para o seu vencimento. Nesse cenário, o cálculo de desconto seria esse:

N = 20.000

n = 18

i = 3% = 3 / 100 = 0,03 / 30 = 0,001

d = 20.000 . 0,001 . 18

d = 360

Dessa forma, o desconto obtido com uma antecipação de 18 dias sobre um título de R$20.000,00 seria igual a R$360,00.

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Comentários

Jonas Rodrigues Leal - 22/10/2023

Matéria excelente que reforça o conhecimento em uma área que está sempre presente no contexto financeiro das pessoas.