Não somente em provas, mas também no dia a dia de um profissional do mercado financeiro, as médias estão presentes o tempo todo. Como eu sempre digo, a matemática é um campo de conhecimento que devemos ter absoluta afinidade.
Para te ajudar nisso, hoje eu trouxe tipos de média e o que cada uma representa. Continua comigo, que ao longo deste artigo responderei algumas das questões mais comuns sobre médias matemáticas, incluindo:
- O que é média na matemática?
- Quais são os tipos de médias?
- O que é média aritmética?
- O que é média ponderada?
- O que é média geométrica?
- O que é média harmônica?
- O que é moda?
- O que é mediana?
- Qual a relação entre média aritmética, geométrica e harmônica?
- O que é variância e desvio padrão?
- Como saber qual média usar?
- Quando usar média aritmética e média ponderada?
- Quando usar média harmônica?
- Quando usar média geométrica?
- Quando usar moda?
- Quando usar mediana?
Vamos nessa?
O que é média na matemática?
A média, na matemática, pode ser definida como uma tendência central, como a frequência — comportamento — em um conjunto de dados ou uma concentração específica na distribuição de determinados valores.
As médias servem para encontrar o ponto central em um grupo de números, ou ainda um valor que relacione todos esses dados.
Parece complicado? Não se preocupe. Com certeza vai soar mais simples quando você ler sobre cada média especificamente.
Quais são os tipos de médias?
Desde um ponto de vista mais amplo, todas as médias podem ser definidas igualmente como medidas estatísticas utilizadas para representar a tendência central de um conjunto de números. Contudo, na prática, existem diferentes tipos de médias, cada uma com características específicas que as tornam mais adequadas para situações distintas.
Por isso, mais do que compreender o conceito geral de “média”, é importante conhecer os tipos mais comuns e entender como e quando aplicar cada uma delas.
As médias mais utilizadas são:
- Média aritmética;
- Média ponderada;
- Média geométrica;
- Média harmônica.
Bora aprender cada uma delas?
O que é média aritmética?
Também conhecida como “média simples”, a média aritmética é obtida ao somar todos os dados de uma amostra e dividir pelo número de dados usados nessa mesma amostra. Ela é, inclusive, a mais utilizada no cotidiano — sabe a média de notas que costumávamos ter na escola? É aritmética!
Para te ajudar a entender, eu trouxe um exemplo. Vamos supor que as ações de determinada empresa sofreram essas alterações durante os dias úteis de uma semana:
- Segunda-feira: +6%;
- Terça-feira: +4%;
- Quarta-feira: -2%;
- Quinta-feira: -2%;
- Sexta-feira: +4%.
Para obter a média dos retornos dessas ações, basta somar cada valor e dividir por cinco, que é o número de dias da semana que temos aqui: o resultado será 2.
Na calculadora HP12c, basta somar todos os valores, clicar em G e, por fim, em 0.
O que é média ponderada?
A média aritmética ponderada tem uma diferença bem importante se comparada com a aritmética simples: ela atribui um peso para cada valor dentro de uma amostra. Nas provas de certificações financeiras, por exemplo, algumas questões podem ter um peso maior que as demais. Assim, na hora de calcular a nota, o peso de cada dado deve ser considerado.
Para descobrir a média ponderada de um conjunto de números é preciso, primeiro, multiplicar cada item por seu peso. Depois é só dividir a soma ponderada pela soma dos pesos. A fórmula da média ponderada é a seguinte:
- Média ponderada =Soma ponderadaSoma dos pesos
Atenção: em casos simplificados, onde a soma dos pesos é igual a 100% (ou 1 em decimal), dispensa-se a necessidade de divisão pela soma soma dos pesos, já que isso não altera o resultado final. Logo, basta somar as contribuições ponderadas.
Para facilitar o exercício, consideremos um cenário hipotético simples. Para praticar, utilize a seguinte cartela de investimentos como exemplo:
Aplicando os dados da tabela acima, temos:
- WEG3: +37%, Peso: 20% = 0.2
- ITA3: +18%, Peso: 20% = 0.2
- COGN3: -10%, Peso: 10% = 0.1
- RADL3: +3%, Peso: 20% = 0.2
- DASA3: +23%, Peso 20% = 0.2
- FLRY3: + 33%, Peso: 10% = 0,1
Como a soma dos pesos é igual a 100% (ou 1 em formato decimal), para encontrar a média ponderada, basta multiplicar cada valor pelo seu peso e somar os resultados, assim:
- Média ponderada = (37 x 0.2)+(18 x 0.2)+(-10 x 0.1)+ (3 x 0.2) +(23 x 0.2) +(33 x 0.1)
- Média ponderada =(7,4%) + (3,6%) + (-1%) + (0,6%) + (4,6%) + (3,3%)
- Média ponderada = 18,5%
Logo, a média ponderada desta carteira de investimentos teórica é 18,5%.
Que tal agora, resolver o mesmo exercício na calculadora HP12c? Para isso, os passos para obter a média ponderada são estes:
- +37 (positivo) de retorno ENTER 20 de peso;
- somatório +;
- +18 (positivo) de retorno ENTER 20 de peso;
- somatório +;
- -10 (negativo) de retorno ENTER 10 de peso;
- somatório +;
- +3 (positivo) de retorno ENTER 20 de peso;
- somatório +;
- +23 (positivo) de retorno ENTER 20 de peso;
- somatório +;
- +33 (positivo) de retorno ENTER 10 de peso;
- somatório +;
- Clica G;
- Clica 6 (que é a tecla onde possuímos o W que nos apresenta a Média Ponderada).
O que é média geométrica?
A média geométrica é utilizada para encontrar tendências em momentos nos quais há a presença de aumentos sucessivos, que seguem um padrão de progressão geométrica. Essa métrica é calculada multiplicando todos os valores numéricos e, após isso, tirando a raiz n-ésima do produto (onde “n” é igual ao número total de dados).
A fórmula da média geométrica é a seguinte:
- x = n x1 x2 x3 … xn
Onde:
- n = número total de dados;
- x1, x2, x3… xn = valores da amostra.
Como exemplo, suponha que determinado ativo teve os seguintes retornos:
- +1;
- +2;
- +3;
- +2;
- +1.
Cinco amostras, correto? Logo, o nosso n, ou seja, a n-ésima é = 5. O cálculo, então, fica assim:
- x = 5 1 2 3 2 1
- x = 5 12
- x = 1,79
Logo a média geométrica dos retornos especificados é igual a 1,79%.
Para fazer essa métrica na HP12c, o processo é o seguinte:
- 1 ENTER 2 x;
- 3 x 2 x;
- 1 x;
- 12 (nosso resultado) ENTER 5 (amostra que temos);
- A partir daqui, iremos inverter clicando em: 1/x;
- E vamos elevar, clicando em: y na x.
O que é média harmônica?
A média harmônica existe para encontrar um valor que representa um conjunto de outros valores, utilizada em situações nas quais temos grandezas inversamente proporcionais.
A fórmula utilizada para isto é a seguinte:
Considere “n” como o número de amostras e “x” como cada elemento da equação.
Para facilitar, consideremos a mesma amostra de dados utilizados no exemplo anterior: 1, 2, 3, 2, 1.
O primeiro passo aqui é calcular o inverso correspondente para cada um desses valores:
- 11 = 1
- 12 = 0,5
- 13 = 0,333
- 12 = 0,5
- 11 = 1
Agora é só somar os inversos e, por fim, dividir o número total de dados (5) pelo valor total inverso:
- 1 + 0,5 + 0,333 + 0,5 + 1 = 3,333
- Média harmônica = 53,33 = 1,5
Portanto, a média harmônica desse conjunto de números é igual a 1,5.
Para calcular a média harmônica na HP12c, o passo a passo é o seguinte:
- Primeiro valor (1):
- Digite 1, depois pressione ENTER;
- Pressione x para calcular o inverso.
- Segundo valor (2):
- Digite 2, depois pressione ENTER;
- Pressione x para calcular o inverso.
- Terceiro valor (3):
- Digite 3, depois pressione ENTER;
- Pressione x para calcular o inverso.
- Quarto valor (2):
- Digite 2, depois pressione ENTER.
- Pressione x para calcular o inverso
- Quinto valor (1):
- Digite 1, depois pressione ENTER.
- Pressione x para calcular o inverso.
- Somar os inversos:
- Após inserir todos os inversos, pressione + para somá-los.
- Realize a soma, pressionando + repetidamente após cada novo inverso.
- Calcular a média harmônica:
- Depois de somar todos os inversos, pressione ENTER para armazenar a soma dos inversos.
- Digite 5 para representar o número total de dados (n = 5).
- Pressione ÷ para dividir o número total de dados pela soma dos inversos.
Observação: nesse ponto, o leitor mais atento pode ter notado e ficado confuso ao perceber que, mesmo utilizando os mesmos dados, o resultado da média harmônica (1,5) foi inferior ao da média geométrica (1,79). Isso está correto e se explica por um princípio matemático conhecido como “desigualdade das médias”. Mas não se preocupe, é exatamente sobre isso que vou falar na sequência:
Relação entre as médias aritmética, geométrica e harmônica
Existe uma relação observável entre as médias aritmética, geométrica e harmônica, que pode ser verificado sempre que as utilizamos para medir o comportamento de um mesmo conjunto de números. Essa relação é expressa por um princípio matemático chamado de “desigualdade das médias”.
Como o próprio termo sugere, a “desigualdade das médias”, expressa um padrão de diferença entre os resultados apresentados ao se utilizar diferentes tipos de média. Esta relação pode ser descrita assim:
- MA ≥ MG ≥ MH
Ou seja, a média aritmética é maior que a média geométrica, que por sua vez, é maior que a média harmônica.
Essa desigualdade acontece devido ao modo como cada média é calculada e de como essas fórmulas lidam com os valores individuais do conjunto.
Vamos analisar cada uma e entender a razão dessa relação.
Por que MA ≥ MG?
A média aritmética é encontrada pela soma de todos os valores dividido pelo número de elementos. Essa métrica considera todos os números igualmente, sendo assim sensível a valores extremos (valores muito altos ou muito baixos).
Já a média geométrica é baseada no produto dos números e depois extrai a raiz enésima. Por isso, é mais influenciada pela proporção entre os números e não por valores extremos.
Por que MG ≥ MH?
Enquanto a média geométrica é baseada no produto dos números, a média harmônica se baseia no recíproco dos valores, sendo mais influenciada por números pequenos no conjunto.
Em resumo:
- A média aritmética é influenciada por valores extremos, sendo sempre a maior (ou igual);
- A média geométrica é intermediária e está mais relacionada ao crescimento proporcional;
- A média harmônica tende a ser a menor entre as três, sendo mais sensível a valores pequenos no conjunto.
Para ver como essa relação se manifesta na prática, considere as três métricas para o conjunto de valores 4 e 16. Observe os cálculos:
- MA = 4 + 162 = 10
- MG = 2 4 x 16 = 8
- MH = 214 + 116 = 6.4
Logo, como se pode observar, os valores apresentados seguem o princípio da desigualdade das médias:
- MA (10) ≥ MG (8) ≥ MH (6.4)
O que é moda?
A moda é simplesmente o valor que aparece com maior frequência dentro de um conjunto — nem precisa de fórmula!
Digamos que uma ação tenha apresentado, por exemplo, estes retornos durante os dias úteis de uma semana:
- +2%;
- +3%;
- -1%;
- +4%;
- -1%;
- +2%;
- -1%;
- -1%.
O valor mais frequente do conjunto acima é -1%, logo, esta é a moda destes retornos.
O que é mediana?
A mediana, por sua vez, é o valor que divide o conjunto em dois subconjuntos, em que estes subconjuntos formados terão exatamente a mesma quantidade de elementos.
Vamos considerar que uma ação teve as seguintes oscilações nos primeiros 5 dias de determinado mês:
- +3%;
- +4%;
- – 2%;
- – 3%;
- +1%.
A primeira coisa a fazer é colocar as oscilações em ordem crescente (ou decrescente). Ou seja, organize tudo certinho:
– 3%; – 2%; + 1%; 3%; 4%
Assim, a mediana é o valor central do conjunto. Neste exemplo, o valor + 1%.
E se tivermos uma amostra de dados par e sem um central? Desse jeito:
- +3%;
- +4%;
- +2%;
- +6%.
Colocando as oscilações em ordem crescente (+ 2%; + 3%; + 4%; + 6%), a mediana será a média entre os valores centrais:
(3 + 4) : 2 = 3,5
Assim, a mediana de uma amostra de dados par é a média aritmética simples dos elementos que estão equidistantes das extremidades da série.
O que é variância e desvio padrão?
Ainda tenho outros dois conceitos para te apresentar. Olha só:
Variância
A variância existe para calcular qual a variação de determinado valor dentro de um conjunto maior. Ela pode indicar, por exemplo, quão próximas ou não certas amostras estão quando comparadas a uma média.
Desvio padrão
Variância e desvio padrão basicamente dependem um do outro para serem calculados, e muita gente os toma por iguais — entretanto, seus objetivos são bem diferentes.
Enquanto a variância aponta para o distanciamento de um valor em relação a uma média, o desvio padrão, utilizando-se do resultado da variância, serve para sabermos quanto determinado dado varia dentro de uma mesma amostra. Em um gráfico, quanto mais perto este valor estiver do centro, melhor, pois indica o que chamamos de “distribuição normal”.
Como saber qual média usar?
Não tem muito mistério: descobrindo, com clareza, qual é o seu objetivo ao utilizar estatística na sua rotina, ou numa questão de prova. A partir disso, é possível saber qual caminho — qual tipo de média — deve ser tomada para consegui-lo.
Para esclarecer, que tal alguns exemplos práticos de quando usar cada média?
Quando usar média aritmética e média ponderada?
A mais conhecida e utilizada das médias, a média aritmética é mais adequada para situações onde os dados analisados possuem peso igual — e de preferência quando existe certa uniformidade entre eles.
Pode ser utilizada em situações de rotina como para calcular a média de temperaturas de um determinado mês, ou a nota final de um aluno considerando as notas obtidas em diferentes provas ao longo do período letivo em questão.
Já a média ponderada é aplicável em casos onde alguns elementos dentro de uma amostra são mais significativos do que outros. Pode ser usada, por exemplo, para calcular a média de uma carteira de ações, onde cada ativo tem um peso proporcional ao investimento alocado.
Quando usar média harmônica?
A média harmônica é utilizada em situações em que os dados representam taxas ou razões, e em que se busque fazer equivalências entre grandezas inversamente proporcionais.
O exemplo mais comum é a velocidade média de uma viagem, baseada em trechos com distintas velocidades. Isso porque, à medida que a velocidade aumenta, menor é o tempo para percorrer a mesma distância, e vice-versa.
Quando usar média geométrica?
A média geométrica é utilizada especialmente para mensurar o valor médio de sequências numéricas que obedecem um padrão progressivo.
Essa métrica serve, por exemplo, para analisar dados que variam exponencialmente, como taxas de crescimento ou de retornos exponenciais que ocorrem de forma cumulativa. Um exemplo financeiro óbvio é a taxa composta de juros (os populares “juros sobre juros”).
Quando usar moda?
A moda é aplicada para encontrar o valor que aparece com maior frequência dentro de uma amostra de dados, sendo mais relevante para dados categóricos ou em situações de alta repetição.
Pode ser usada, por exemplo, para controle de estoque, identificando o tamanho de roupa mais vendido em uma loja ou mesmo para identificar algum padrão de número mais sorteado em algum concurso.
Quando usar mediana?
A mediana é indicada principalmente para situações onde outliers — valores extremos isolados — podem distorcer uma média.
Esse tipo de métrica se concentra estritamente no valor que estiver exatamente no meio de uma sequência ordenada de dados. Assim, descarta automaticamente qualquer tipo de dado dissonante para mais ou para menos que, de outra forma, poderia dar uma ideia enganosa do valor médio de um conjunto.
Para entender melhor, imagine uma empresa onde a maioria dos funcionários ganha entre R$2.500,00 e R$4.000,00, mas diretores ganham R$50.000,00. A média aritmética dos salários — aquela normalmente utilizada em plataformas como a Glassdoor, por exemplo —, nesse caso, seria influenciada por esses valores altos, resultando em um valor que não representa a realidade da maioria.
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