Escala logarítmica: o que é, calcular e interpretar o gráfico?

Imagine que, por algum motivo, alguém te peça para ilustrar um artigo como este com uma imagem que represente operações na Bolsa de Valores. Muito possivelmente, a primeira figura que virá à sua mente será algo semelhante a um gráfico, com setas ou curvas, e números em verde e em vermelho.

Isso, obviamente, não ocorre por acaso. Afinal, a interpretação de gráficos semelhantes a esse são uma constante para os investidores. O que talvez passe despercebido em meios aos valores expressos na figura imagética de um gráfico é um importante elemento que compõe e dimensiona esse tipo de ilustração: a escala.

No mercado financeiro, essas escalas são indicadores de grande importância para as mais diferentes formas de análise, dado que são capazes de condensar a evolução de grandes valores monetários ao longo de um período determinado de tempo, em representações gráficas fáceis de serem compreendidas. 

Ao longo deste artigo, vou te apresentar tudo que você precisa saber sobre uma das escalas mais utilizadas na área: a escala logarítmica — que trabalha com a condensação de números exponenciais, normalmente utilizados para calcular correções monetárias ao longo do tempo. 

Aqui, você aprenderá como a escala logarítmica funciona, como interpretar os gráficos mais comuns e compreenderá de que forma, onde e como usar esse elemento e muito mais! 

O que é escala logarítmica?

A escala logarítmica —  ou de log, como também é conhecida — , é uma métrica que utiliza o logaritmo de uma grandeza no lugar da grandeza em si. É, desse modo, um gráfico cujos espaçamento entre seus pontos não são iguais, uma vez que obedecem a evolução de números exponenciais. 

Criado pelo matemático escocês John Napier, no século XVII, como uma maneira de simplificar cálculos trigonométricos complicados, com o tempo, o uso do logaritmo — e, por consequência, da escala logarítmica —  foi adaptado à diferentes ramos da Ciência para calcular casos das mais distintas naturezas, onde a evolução dos pontos não se desenrolava de maneira linear. Algumas das escalas logarítmicas mais conhecidas são:

• Decibel para potência acústica;
• Equilíbrio de pH na Química;
• Escala de magnitude estelar para a luminosidade de estrelas;
• Krumbein para o tamanho dos grãos em Geologia;
• Lei de Moore para armazenamento de dados;
• Richter para a intensidade de terremotos;
• Decibel para potência acústica;
• Neper para potência elétrica;
• Contagem do número f para valores de exposição em fotografia.

Uma das métricas mais fáceis para ilustrar e entender como se dá esse fenômeno é a escala Ritcher, onde cada elevação de ponto de magnitude corresponde a um  aumento de dez vezes de amplitude. Nesse caso, a variação entre um sismo de 2,5 e um de 3,5 pontos é praticamente imperceptível, enquanto a mesma variação de um ponto entre um terremoto de 7,5 e um de 8,5 é devastadora.

Uma vez que a matemática financeira estuda o valor do dinheiro ao longo do tempo, a utilização da escala logarítmica foi perfeitamente adequada para soluções de problemas no mercado financeiro. Esse gráfico pode ser utilizado, por exemplo, para ilustrar o avanço dos juros compostos durante cada um dos períodos de quitação de parcelas.

Qual a diferença entre escala linear e logarítmica?

A diferença entre a escala linear (ou escala aritmética) e a escala logarítmica está na forma com que são definidos os espaçamentos entre os pontos de cada uma dessas métricas. Em um gráfico linear, essas lacunas são equidistantes. No entanto, o mesmo não pode ser aplicado a um gráfico logarítmico, no qual são considerados valores exponenciais

O espaçamento entre os pontos dispostos em escalas lineares — as quais são comumente encontradas em matérias jornalísticas, por exemplo —  são definidos por adição.  Em casos como esse, a distância entre 5 e 10, será igual a distância entre 50 e 55,  entre 1.000.000 e 1.000.005, e assim por diante.

Desse modo, em um gráfico que parte de um valor 0, o próximo ponto corresponderia ao valor do ponto anterior mais a soma de uma constante pré-definida.   

   Já a escala logarítmica considera que toda a multiplicação por um mesmo número representa um espaçamento de mesma proporção. Ou seja, as lacunas não são definidas por adição, mas por exponencialidade – em termos mais simples, aumentam gradualmente. O número pelo qual os dados são multiplicados é chamado de base. 

A título de exemplo, em uma métrica logarítmica, a distância entre 5 e 10 é maior do que o espaçamento entre 50 e 55. Isso porque, na primeira lacuna 10 corresponde ao dobro de 5, enquanto na segunda 55 é igual a 1,1 vezes o valor de 50.

De igual forma, em um gráfico com base 10, o espaçamento entre 100 e 1000 é igual ao existente entre 1000 e 10.000 etc. Daí pra frente, a lógica permanece em progressão exponencial.

O que é um gráfico logarítmico?

O gráfico logaritmo representa a evolução de determinado número com base em uma escala logarítmica. Nele — ao contrário dos gráficos com escalas aritméticas amplamente utilizadas em matérias jornalísticas, onde os valores são espaços iguais, como em uma régua —, a evolução de um valor não ocorre de maneira linear.

Por mais que nesse tipo de gráfico o valor final possa ser o mesmo apresentado em um gráfico de valor linear, o espaçamento entre os pontos ocorre de maneira distinta. Isso permite, sobretudo, apresentar uma grande gama de dados numéricos de modo compacto.

 Nas finanças, esse tipo de representação é comumente usado em duas situações: 

quando existe assimetria entre valores grandes, ou quando a diferença percentual entre os valores é o dado principal a ser observado. Esse tipo de gráfico é indicado principalmente em situações onde o intervalo disposto entre os pontos seja notável.

Se um gráfico exibir, por exemplo, os lucros médios de todos os 50 produtos de uma determinada empresa, onde três itens tiverem vendas imensamente superiores aos demais, os dados referentes aos outros 47 produtos seriam tão compactados ao ponto de quase não serem vistos.

No segundo caso, para ilustrar uma mudança percentual, considere uma rede de fast food que, em um primeiro ano abriu 1.000 filiais, e que a cada ano, em um período de 20 anos, dobrou o número de filiais anteriores.

Em um gráfico linear, haveria um longo período com um pequeno número de filiais e, então, um aumento acentuado. Uma escala logarítmica, por sua vez, apresentaria uma linha reta desde o canto inferior esquerdo até o canto superior direito, o que seria muito mais acurado.

A escala logarítmica costuma ser melhor adaptada com determinados tipos de gráficos:

• Gráfico de pontos: o gráfico de pontos é um dos melhores para utilizar com escalas logarítmicas, já que os pontos não representam um valor em si, diferente dos gráficos de barras e dos gráficos de colunas. Ele demonstra os valores de maneira clara, podendo ser disposto em escala horizontal ou vertical;

• Gráfico de linhas: o gráfico de linhas é amplamente utilizado em escalas logarítmicas, uma vez que pode apresentar de modo claro as variáveis dependentes do tempo. Esse também é o melhor modelo para dispor tendências ao longo do tempo;

•  Gráficos especializados de ações e títulos: existem diferentes gráficos adaptados para preços de ações, com foco em tendências e padrões. Os mais conhecidos são o Kagi e o Renko. Eles condensam uma variedade de informações, tais como: preços de compra e de venda, tendências de preço, entre outros.  

Por que usar uma escala logarítmica?

Nas mais diferentes áreas do campo científico a escala logarítmica é utilizada para calcular ou demonstrar evoluções de pontos que não ocorrem de forma linear. São situações onde a unidade importa menos que a variação. 

Na escala Richter, como visto, uma alteração de 1 ponto pode ser imperceptível ou a responsável por uma devastação, dependendo do seu grau. Outro bom exemplo são os decibéis, onde uma variação de 60 db (média de uma conversa) para 80 db (o som de um aspirador de pó), que embora incômoda, é muito menos impactante que a mesma média de 20 db entre o som máximo de um fone de ouvido comum (100 db) e um show de rock (120 db) — podendo ser a diferença entre uma música alta e prejuízos permanentes para a audição.

No mercado financeiro, essas mudanças são igualmente perceptíveis. Se em uma escala linear o espaçamento entre 5 e 10 é exatamente igual a de 50 e 55, o mesmo não valeria para uma aplicação financeira. Confuso? Então, deixa que te explico.

Se valendo desses mesmos números, imagine que você comprou duas ações: uma por R$5,00 e a vendeu por R$10,00, e uma de R$50,00, vendida por R$55,00. Você consegue me dizer qual delas foi o melhor negócio? Se a resposta foi a primeira, você está certo. Afinal, no primeiro caso, seu lucro foi de 100%. Já o segundo, rendeu 10%.

  Dessa forma, embora o lucro tenha sido de R$5,00 em ambas aplicações, o rendimento foi bastante diferente. Isso ocorre porque a variação percentual de uma mesma quantia — no caso “R$5,00” — , fica cada vez menor em relação ao todo. 

Quando uma escala logarítmica deve ser usada?

Por mais que a escala aritmética ainda seja amplamente usada em finanças, existem diferentes situações onde o uso da escala logarítmica é mais indicado.

De maneira geral, ela apresenta melhores resultados quando o que se analisa é a variação percentual e não o montante. Do mesmo modo, é a mais indicada em análises de longos prazos e em situações de maior volatilidade, que necessitam de correções de valores.

Um de seus usos mais comuns é para o acompanhamento de preços de uma ação ou título. Isso porque, como visto, um aumento ou queda do mesmo valor pode representar muito ou não, de acordo com a variação percentual. Nesse sentido, a escala logarítmica é uma ferramenta muito utilizada por analistas técnicos e traders que focam na alteração percentual, e não no valor especificamente.

A escala logarítmica é recomendada também para análises de ações que crescem de modo exponencial, como startups e empresas tecnológicas em crescimento. 

Esse tipo de métrica, contudo, também tem suas limitações. A grande desvantagem no mercado de ações é o fato de que movimentos menores de preços podem parecer menos relevantes do que são, o que pode prejudicar a tomada de decisões. Também é claro que se trata de uma escala mais difícil de ser interpretada por investidores novatos.

Como funciona a escala logarítmica?

Para entender como funciona a escala logarítmica é preciso reforçar a suas particularidades quando comparadas com as escalas que as pessoas em geral estão acostumadas a interpretar.

Como visto, a grande diferença entre uma escala aritmética e uma escala logarítmica é a forma como os valores evoluem e são dispostos em um gráfico. Na primeira, os espaçamentos entre os valores evoluem de forma linear, assim como em uma régua. Já na segunda, os espaços entre os pontos 1 e 2 e 100 e 101, por exemplo, não são os mesmos. Elucidar o porquê dessa ocorrência é a chave para compreender como funciona e como ler os dados dispostos em uma escala logarítmica.

Primeiramente, é preciso compreender que o logaritmo é encontrado por meio da operação inversa à exponencial. Corresponde, portanto, ao expoente da potência ao que se deve elevar uma base para chegar ao número esperado.  

Desse modo, é possível afirmar que os números em uma  escala logarítmica são dispostos pela multiplicação sobre um mesmo valor referente: a base. O resultado de cada uma das operações corresponde a um espaçamento de igual proporção.

Uma forma ainda mais simples de compreender o ordenamento das lacunas é visualizar a distância entre um ponto e outro da escala como o percentual do total. Assim, o espaço entre 1 e 2 é exatamente igual ao espaço entre 200 e 400, por exemplo, uma vez que ambos correspondem a 100%. 

Construção da Escala Logarítmica

A escala logarítmica é construída pela divisão de uma reta em partes proporcionais aos valores dos logaritmos dos números sobre uma determinada base.

A definição dessas partes ocorre pela potência de um valor elevado pela base. Quando essa não é especificada, entende-se que seu valor equivale a 10. 

Assim, o espaçamento entre um ponto e outro se dará a partir da multiplicação de um  número por 10, ou por potências de 10. Por exemplo, a grandeza de 10 será representada pelo logaritmo 1, uma vez que 10 elevado à potência de 1 é igual a 10. 

O logaritmo 2, por sua vez, representa a grandeza 100, já que 10 elevado à potência de 2 é igual a 100. Já a grandeza 1.000 será igual ao logaritmo 3, e assim por diante.

Como ler gráficos em escala logarítmica?

Se em um gráfico linear, à medida que um dado sobe no eixo y, é somado uma unidade ao valor anterior, no gráfico logaritmo é feita uma multiplicação desse valor pela base. É por isso que, em uma escala logarítmica, as grades são espaçadas irregularmente.

Como já exposto, gráficos logarítmicos padrões usam base com valor 10. Assim, em vez dos valores estarem espaçados de modo equidistante — como em uma sequência 1, 2, 3, 4 etc;  ou 10, 20, 30, 40 etc —,  em um gráfico dessa natureza, os valores avançam em potências de 10. Os pontos principais nesse eixo são: 10¹, 10², 10³, e assim por diante.

As divisões principais em um gráfico logarítmico são destacadas por uma linha mais escura, denominada ciclo. Vale destacar, ainda, que os espaçamentos entre os intervalos dentro de cada ciclo será diferente. O ponto 20, por exemplo, está colocado em um terço do caminho entre 10 e 100. 

Note, inclusive, que os valores menores são espaçados em uma mesma proporção. Assim, as lacunas entre os valores de 10, 20 e 30 são iguais as lacunas entre 100, 200, 300 etc.

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