Matemática financeira: conceitos e principais fórmulas

Saber interpretar e utilizar números, planilhas e cálculos representa muito mais que uma parte das atividades que compreendem a rotina profissional de investidores, analistas, bancários e gestores. 

Tal como as cores para um pintor ou as palavras para um escritor, a matemática financeira é o elemento primordial do trabalho prestado ou exercido por qualquer personagem dentro do mercado financeiro. 

A aplicação de determinadas fórmulas financeiras pode ser, por exemplo, o fator determinante para comprar ou vender um ativo, ou mesmo para precificá-lo. Pode ainda ser utilizada para definir qual a melhor forma de aplicação para obter os retornos esperados, ou para estabelecer a taxa de juros necessários para compensar um empréstimo, e muito, muito mais.

Ao longo deste artigo, você vai conhecer os principais conceitos da matemática financeira, entender como aplicá-los e conferir 12 fórmulas bastante comuns na rotina dos profissionais do mercado financeiro. Mas, antes de chegar aos cálculos, vale entender os fundamentos e saber em quais situações cada conceito pode ser útil.

Confira tudo que vamos abordar:

• O que é matemática financeira?
• Quais são os conceitos básicos da matemática financeira?
• Quais são as 12 principais fórmulas da matemática financeira?
• Como saber qual fórmula usar em matemática financeira?
• Matemática financeira é difícil?

Vem comigo para conferir tudo o que você precisa saber sobre conceitos como: juros simples e juros compostos, porcentagem, taxas, descontos, percentuais, entre outros!

O que é matemática financeira?

A matemática financeira é uma área prática da matemática dedicada ao estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, suas aplicações e formas de organização e controle. Para além de uma ciência do conhecimento, ela é uma ferramenta útil para administrar a saúde financeira, tanto na vida pessoal quanto nas organizações.

Por mais que Louis Bachelier (1870 - 1946), o precursor da teoria moderna de probabilidades, seja reconhecido como o pai da matemática financeira, as práticas que deram origem a essa área são muito mais antigas. Elas surgiram antes mesmo da criação da moeda. Consegue imaginar a dimensão de um conceito tão antigo assim?

Na antiga Mesopotâmia, por exemplo, já existiam empréstimos de sementes e grãos, com regras para a devolução e a cobrança de juros. Essas práticas mostram como a necessidade de calcular valores e estabelecer condições de troca acompanha a história das relações econômicas.

Hoje, a matemática financeira ajuda a analisar as finanças, reduzir custos, evitar perdas e identificar maneiras de aplicar o dinheiro para obter os resultados esperados.

O que se estuda na matemática financeira?

Os problemas clássicos da matemática financeira estão relacionados à determinação do valor do dinheiro ao longo do tempo, considerando fatores como juros e inflação. A área também estuda a aplicação desse valor em empréstimos, investimentos e na análise da viabilidade de projetos. 

No mercado de ações, a matemática financeira também é utilizada na precificação de ativos e derivativos.

Para que servem as fórmulas em matemática financeira?

As fórmulas financeiras são utilizadas como ferramentas para administração de contas pessoais ou empresariais. Seu principal objetivo é mostrar como o dinheiro se comporta ao longo do tempo, seja em uma operação de crédito, seja em um investimento ou projeto.

Entre as aplicações mais comuns, estão:

• Cálculo de juros em operações financeiras;
• Análise de empréstimos e financiamentos;
• Projeção de fluxos de caixa em empresas;
• Cálculo de rendimentos de investimentos;
• Avaliação de condições para negociar dívidas;
• Cálculo de descontos e acréscimos percentuais.

Cada fórmula atende a uma necessidade específica. Algumas permitem calcular os juros de uma operação; outras ajudam a descobrir o valor acumulado, comparar taxas ou avaliar se um investimento compensa.

Aplicações da matemática financeira no dia a dia

A matemática financeira não se limita aos escritórios de contabilidade ou à rotina de quem trabalha no mercado financeiro. Ela também aparece em decisões comuns, muitas vezes sem que a gente perceba.

Veja alguns exemplos:

• Comparar preços e descontos: calcular o preço final de um produto em promoção e descobrir se o desconto anunciado realmente compensa;
• Escolher a forma de pagamento: comparar o preço à vista com o valor total de uma compra parcelada;
• Avaliar empréstimos e financiamentos: entender quanto será pago em juros e comparar as condições oferecidas por diferentes instituições;
• Planejar investimentos: estimar quanto uma aplicação pode render ao longo de determinado período;
• Organizar o orçamento: calcular o impacto de reajustes, despesas recorrentes e dívidas sobre a renda mensal;
• Entender a inflação: avaliar como o aumento dos preços afeta o poder de compra e o valor necessário para manter o mesmo padrão de consumo.

Essas situações mostram como a matemática financeira pode ajudar a tomar decisões mais conscientes. Ao compreender os cálculos envolvidos, fica mais fácil comparar alternativas, antecipar custos e planejar o uso do dinheiro.

Quais são os conceitos básicos da matemática financeira?

Compreender os conceitos básicos da matemática financeira, como capital, juros, taxas e montante, é como entender o alfabeto das finanças. Esses conceitos representam os elementos que aparecem nas fórmulas e calculadoras financeiras e ajudam a entender como cada cálculo funciona.

Se você já sabe qual problema financeiro quer resolver e encontrou a fórmula adequada, mas ainda não compreende o significado e a função de todos os elementos presentes nela, é preciso retroceder um passo.

Antes de aplicar qualquer cálculo, é importante entender o que cada elemento representa e por que ele está ali. Caso contrário, é como correr o risco de trocar sal por açúcar.

Para refrescar a memória, separei abaixo os conceitos mais comuns de serem encontrados nas fórmulas financeiras utilizadas rotineiramente por profissionais do mercado financeiro. Siga comigo!

Capital (C)

Na matemática financeira, capital (C) é o valor inicial aplicado em um investimento, ou o custo inicial de um produto ou serviço, à vista e sem a inserção de taxas. Esta quantia pode, portanto, corresponder a uma dívida, investimento ou empréstimo.

Conceito dos mais básicos, trata-se do valor principal ou inicial de qualquer operação financeira. Normalmente, é representado nas fórmulas financeiras pela letra “C”, embora também apareça, vez ou outra, como “P”.

Juros (J)

Termo dos mais populares, os juros (J) podem ser compreendidos como uma compensação financeira por um empréstimo, uma vez que, como visto, o valor do dinheiro tende a desvalorizar com a passagem do tempo. É, portanto, uma remuneração que parte da correção monetária de uma aplicação. 

Os juros são calculados em toda sorte de fórmulas: para especificar custos de valores tomados emprestados; retornos de valores investidos; e mesmo a diferença de valores entre uma compra comercial feita à vista e a prazo.

Os juros podem ser calculados de acordo com duas formas de capitalização: simples ou composta.

• Juros simples: são os juros que incidem apenas em cima do capital inicial e cujo valor se mantém sempre o mesmo;
• Juros compostos: popularmente conhecidos como "juros sobre juros", incidem sobre o valor atualizado da aplicação, progredindo, de maneira exponencial. Ou seja, cada cobrança mensal será superior à anterior, considerando a correção monetária entre cada parcela.

Taxa de Juros (i)

Enquanto os juros podem ser lidos como a remuneração pelo tempo que o credor ficará sem o dinheiro emprestado em mãos. A taxa de juros, por sua vez, é o valor acordado entre o credor e o devedor para calcular essa compensação.

Representada nas fórmulas financeiras pela letra "I", a taxa de juros é o percentual que determina as correções monetárias sobre um valor inicial emprestado. Essa taxa está sempre associada a um prazo estabelecido previamente: podendo ser cobrada por dia, mês ou ano.

Vale lembrar que, nas operações matemáticas, a taxa de juros necessita sempre ser alterada para sua forma decimal ou unitária. Para isso, basta dividir a taxa percentual por 100. Uma taxa de 30%, por exemplo, é calculada como 0,30 (30 / 100). 

Para converter uma taxa unitária em percentual, basta realizar o processo contrário. Ou seja, multiplicar o valor por 100. No mesmo caso demonstrado anteriormente: 0,3 seria igual a 30% (0,30 x 100).

Prazo (“n” ou “t”)

Na matemática financeira, o prazo corresponde ao período entre o início e o fim de uma operação financeira. Pode representar, por exemplo, o tempo de duração de um investimento, o período de pagamento de um empréstimo ou o intervalo considerado no cálculo de juros. 

Nas fórmulas financeiras, o prazo costuma ser representado pela letra “n” ou “t”. Sua unidade de medida pode ser dias, meses ou anos, conforme a operação analisada.

Atenção: é importante que o prazo e a taxa de juros estejam expressos em períodos compatíveis. Se uma taxa é mensal, por exemplo, o prazo também deve ser informado em meses, salvo quando a fórmula prevê a conversão entre períodos.

Montante (M)

O montante é o resultado da soma do capital inicial e dos juros acrescidos ao longo do tempo. Ou seja, é o valor total pago em uma operação. 

Nas fórmulas financeiras, pode ser representado pelas letras "M" ou "S". Em calculadoras financeiras aparece como "FV" (future value) ou "VF" (valor futuro).

Valor presente (PV)

Uma vez que a própria matemática financeira é conceituada como o estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, não é difícil compreender que um montante recebido no futuro não vale igualmente o mesmo montante recebido hoje. 

É por isso que um dos conceitos comumente usados no mercado financeiro é o valor presente (PV) que, como o próprio nome sugere, trata-se do valor do dinheiro no momento atual. 

Esse conceito é utilizado para estimar quanto vale um ativo no dia presente. Por meio dele, é possível descobrir, ainda, qual será o valor desse papel no futuro, e que fatores interferem em sua precificação. 

Na prática, o valor presente é a quantia que você precisaria em reais de hoje para ganhar um determinado retorno futuro, baseado na taxa de retorno especificada. 

Valor futuro (FV)

O valor futuro (FV ou VF) corresponde ao valor que uma quantia presente pode atingir em uma data posterior, considerando determinada taxa de juros e um período de tempo.

Esse conceito está relacionado ao montante, que representa a soma do capital inicial com os juros acumulados. Em uma aplicação financeira, por exemplo, o valor futuro permite estimar quanto o dinheiro investido poderá valer após alguns meses ou anos.

Seu cálculo depende do valor presente, da taxa de juros e do prazo considerado. Por isso, é um conceito útil para projetar rendimentos, comparar alternativas de investimento e planejar objetivos financeiros.

Operação de acréscimo

O acréscimo é o valor adicionado a um produto ou serviço, que teve um aumento de preço. 

Embora possa causar alguma confusão, esse valor se difere dos juros, uma vez que o acréscimo não remunera o investimento de um capital inicial, mas apenas acrescenta uma quantia na aquisição de algum bem. 

O acréscimo pode ocorrer por uma simples tentativa de aumento da lucratividade.  Ou pode, ainda, ser resultante de fatores diversos que encarecem o serviço prestado ou o produto vendido, tais como: a elevação dos custos de determinada matéria-prima, de impostos, da mão de obra, entre outros.

Operação de desconto

Antônimo de acréscimo, o desconto é o conceito financeiro que representa o valor ou percentual deduzido do preço inicial de um produto ou serviço.

Nesse caso, é comumente utilizado como estratégia de venda, ou mesmo uma forma de reduzir o estoque, para a chegada de uma nova linha de novos produtos, entre outros.

Agora que os conceitos básicos já foram apresentados e suas aplicações esclarecidas, é hora de passar à prática. Bora conhecer.

Quais são as principais fórmulas da matemática financeira?

As principais fórmulas da matemática financeira permitem calcular juros, montantes, descontos e outros valores importantes para analisar empréstimos, investimentos e operações do dia a dia.

Siga comigo e te apresentarei às 12 fórmulas mais comuns da matemática financeira, onde aplicá-las e claro: tudo com exemplos simples, para que esses cálculos não saiam mais da sua cabeça.

Fórmula do montante

A fórmula  do montante é a seguinte:

M = C + J

Onde:

• M: montante;
• C: capital inicial;
• J: juros.

O montante é o valor correspondente à soma do capital inicial e dos juros aplicados sobre ele, ao longo de todo o período especificado. 

Esse cálculo é utilizado, por exemplo, para descobrir o valor total de um investimento após determinado período ou quanto uma dívida representa após a incidência de juros.

Exemplo de montante:

Considere uma operação simples, em que o valor investido foi de R$ 4.000,00 e a soma dos juros acrescidos sobre esse valor foi de R$ 800,00. Nesse caso, a fórmula seria:

M = 4.000 + 800

M = 4.800

Assim, aplicando os dados hipotéticos à fórmula, o montante seria de R$4.800,00.

Vale destacar que, para definir o montante, é preciso primeiro calcular o valor total dos juros.

Fórmula de juros simples

A fórmula de juros simples é a seguinte:

J = C .  i . t

Onde:

• C: capital inicial;
• J: juros;
• t: tempo;
• i: taxa de juros (em casas decimais, não em porcentagem).

A fórmula de juros simples é utilizada em operações nas quais os juros incidem apenas sobre o capital inicial. Nesse modelo, o valor dos juros permanece constante a cada período, desde que a taxa e o intervalo de tempo sejam os mesmos.

Em termos práticos, os juros simples são calculados pela multiplicação do capital inicial pela taxa de juros e pelo tempo decorrido. Esse tipo de cálculo pode aparecer em determinadas operações de crédito, investimentos e negociações comerciais.

Exemplo de juros simples:

Imagine que você fez uma venda no valor de R$ 4.000,00, com pagamento previsto para cinco meses e uma taxa de juros simples de 4% ao mês. Nesse caso, a conta seria:

J = 4.000 x 0,04 x 5 = 800

Nesse exemplo, os juros somariam R$ 800,00. O valor total da venda seria, portanto, de R$ 4.800,00.

Fórmula de juros compostos

A fórmula de juros compostos é a seguinte:

M = C . (1 + i)^t

Onde: 

• M: montante;
• C: capital;
• i: taxa de juros;
• t: tempo decorrido.

Os chamados juros sobre juros são calculados sobre o valor atualizado de uma aplicação, fazendo com que os juros de cada período sejam incorporados ao montante e também gerem novos juros nos períodos seguintes.

Essa é a fórmula utilizada em diversas operações financeiras, como empréstimos, financiamentos e aplicações em poupança, entre outras.

Exemplo de juros sobre juros:

Usando os mesmos valores do exemplo anterior, imagine que você emprestou a mesma quantia de R$ 4.000,00, com uma taxa de juros compostos de 4% ao mês e prazo de cinco meses. Nesse cenário, a fórmula seria:

M = 4.000 x (1 + 0,04)^5

M = 4.866,61

Observe que, nesse caso, os juros de 4% incidem sobre o montante acumulado no período anterior, e não apenas sobre o capital inicial. Por isso, o valor dos juros aumenta a cada mês. Veja como ocorre essa evolução:

• 1º mês: rendimento de R$160,00  (montante: R$4.160,00); 
• 2º mês: rendimento de R$166,40 (montante: R$4.326,40);
• 3º mês: rendimento de R$173,06 (montante: R$4.499,46); 
• 4º mês: rendimento de R$179,97 (montante: R$4.679,43);
• 5º mês: rendimento de R$187,18 (montante: R$4.866,61).

Assim, utilizando os mesmos valores e o mesmo prazo dos dois exemplos, é possível observar uma diferença de R$ 66,61 no montante final entre a operação com juros simples e a operação com juros compostos.

Fórmula das taxas equivalentes

A fórmula da taxa equivalente é a seguinte:

1 + ia = (1 + ip)^n

Onde:

• ia: taxa anual equivalente;
• ip: taxa de juros por período;
• n: número de períodos de capitalização no intervalo considerado.

A fórmula das taxas equivalentes é utilizada para estabelecer a equivalência entre taxas de juros compostos de períodos diferentes, como taxas mensais e anuais. Em outras palavras, ela permite calcular qual taxa anual produz o mesmo resultado financeiro que uma taxa mensal, e vice-versa.

Exemplo de taxas equivalentes:

Para descobrir qual é a taxa de juros anual equivalente à taxa mensal de 3% de um financiamento, basta transformar a porcentagem em número decimal e aplicar os dados à fórmula:

3% = 3/100 = 0,03

1 + ia = (1 + 0,03)^12

1 + ia = 1.03^12

1 + ia = 1,4258

ia = 1,4258 - 1

ia = 0,4258

ia = 42,58%

Logo, a taxa anual equivalente a 3% ao mês é de aproximadamente 42,58%.

Em exemplos como esse, é comum que as pessoas multipliquem a taxa mensal pelo número de meses, obtendo um resultado de 36% (3% × 12).

Esse cálculo, porém, não considera a capitalização dos juros compostos. Como os juros de cada mês também geram novos juros nos períodos seguintes, a taxa anual equivalente é maior: aproximadamente 42,58%.

Fórmula da taxa nominal de juros

A fórmula para calcular a taxa de juros de uma operação é a seguinte:

i = J / C

Onde: 

• i = taxa de juros do período, em formato decimal;
• j: total de juros pagos (não a porcentagem);
• C: valor nominal de capital aplicado.

A taxa nominal de juros é aquela declarada em contratos de empréstimos, financiamentos e aplicações financeiras. Ela expressa a taxa anunciada para uma operação, considerando o período de referência definido no contrato.

Exemplo de taxa nominal: 

Para essa situação, pense em um investimento de R$ 20.000,00 que gerou R$ 4.000,00 em juros ao longo de um ano. Nesse caso, o cálculo da taxa de juros do período seria:

4.000 / 20.000 = 0,2

0,2 = 20%

Assim, a taxa de juros do período foi de 20%. Como o investimento durou um ano, podemos dizer que o rendimento correspondeu a 20% do capital inicial nesse intervalo.

Fórmula da Taxa real de juros

A fórmula da taxa real de juros é a seguinte:

(1+ in) = (1 + r) x (1+j)

Onde:

• in: taxa de juros nominal;
• j: taxa de inflação do período;
• r: taxa real de juros.

Como vimos no exemplo anterior, a taxa nominal de juros representa o rendimento de uma operação sem descontar o efeito da inflação. Para descobrir quanto esse ganho representa em termos de poder de compra, é necessário calcular a taxa real de juros, que considera a variação dos preços no mesmo período.

Para isso, precisamos de dois valores:

• Taxa de juros nominal: o rendimento percentual da operação no período.
• Taxa de inflação: a variação dos preços no mesmo intervalo, que pode ser medida pelo IPCA (Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo).

Quando a inflação é igual a zero, as taxas nominal e real são iguais. Quando a inflação é positiva, a taxa real fica abaixo da nominal. Já quando há deflação, ou seja, uma queda generalizada dos preços, a taxa real pode superar a nominal.

Por isso, o rendimento real costuma ser menor que o rendimento nominal em períodos de inflação positiva. Afinal, parte do ganho aparente é compensada pela alta dos preços.

Exemplo de taxa real:

Para deixar tudo mais claro, considere o mesmo cenário do exemplo anterior, mas com um IPCA acumulado de 4% no período. Nesse caso, o rendimento nominal de 20% será diferente da rentabilidade real. Veja como calcular:

in = 20% = 0,2

j = 4% = 0,04

r = ?

Aplicando os valores à fórmula:

(1 + in) = (1 + r) . (1 + j)

(1 + 0,2) = (1 + r) . (1 + 0,04)

1,2 = (1 + r) . (1,04)

1,2 =  1,04 + 1,04r

1,2 - 1,04 = 1,04r

0,16 = 1,04r

r = 0,16 / 1,04

r = 0,1538

r = 15,38%

Portanto, nesse exemplo, a taxa real de juros é de aproximadamente 15,38%. Isso significa que, após considerar a inflação do período, o ganho em poder de compra foi de 15,38%, ou 4,62 pontos percentuais abaixo da taxa nominal.

Fórmula da Taxa efetiva

A fórmula da taxa efetiva de juros é a seguinte:

r = (1 + i)ⁿ − 1 

Onde: 

• r: taxa efetiva de juros no período considerado;
• i: taxa de juros por período de capitalização, em formato decimal;
• n: número de períodos de capitalização no intervalo analisado.

Essa fórmula permite calcular a taxa efetiva considerando a capitalização dos juros. Ela ajuda a entender quanto os juros representam ao final de determinado período, levando em conta a incorporação dos rendimentos acumulados.

Quando a capitalização é contínua, também é possível calcular a taxa efetiva pela fórmula:

r = eⁱ − 1 

Nesse caso, “e” é a constante matemática de valor aproximado 2,718, e “i” representa a taxa de juros para o período considerado.

Exemplo de taxa efetiva:

Imagine uma aplicação com taxa de juros de 3% ao mês, com capitalização mensal. Para descobrir a taxa efetiva anual, precisamos converter a taxa mensal em decimal e considerar os 12 meses do ano.

Dados da operação:

• Taxa mensal: 3% = 0,03;
• Número de períodos no ano: 12;
• Taxa efetiva anual: r = ?

Aplicando os valores à fórmula:

r = (1 + 0,03)¹² − 1

r = 1,03¹² − 1

r ≈ 1,4258 − 1

r ≈ 0,4258 = 42,58%

Portanto, uma taxa de juros de 3% ao mês, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva anual de aproximadamente 42,58%.

Fórmula do valor presente

A fórmula do valor presente é a seguinte:

VP = VF / (1 + i)ⁿ

Onde:

• VP: valor presente;
• VF: valor futuro;
• i: taxa de juros vigente, em formato decimal;
• t: número de períodos até o recebimento do valor futuro.

A fórmula do valor presente permite calcular quanto uma quantia que será recebida no futuro vale hoje, considerando uma determinada taxa de juros. Para isso, o valor futuro é descontado de acordo com o prazo e a taxa utilizados no cálculo.

Esse cálculo é útil para investidores e empresas que precisam avaliar fluxos de caixa futuros, comparar alternativas de investimento ou estimar o valor atual de um ativo.

Exemplo de valor presente:

Imagine que uma empresa estime receber R$ 5 milhões daqui a um ano. Considerando uma taxa de desconto de 13% ao ano, o cálculo do valor presente seria:

VP = 5.000.000 / (1 + 0,13)¹

VP = 5.000.000 / 1,13

VP ≈ 4.424.778,76

Assim, considerando uma taxa de desconto de 13% ao ano, o valor presente desse recebimento futuro seria de aproximadamente R$ 4,42 milhões. Isso representa uma diferença de cerca de R$ 575 mil em relação ao valor previsto para o recebimento futuro.

Fórmula do Valor futuro

A fórmula do valor futuro é a seguinte:

VF = VP × (1 + i)ⁿ

Onde:

• VF: valor futuro;
• VP: valor presente;
• i: taxa de juros vigente; 
• n: período de tempo.

A fórmula do valor futuro é utilizada para estimar quanto uma quantia investida hoje poderá valer em uma data futura, considerando uma taxa de juros e determinado prazo. O cálculo considera a capitalização dos juros, que são incorporados ao saldo ao longo do tempo.

Exemplo de valor futuro:

Pressuponha que você fez uma aplicação de R$20.000,00 a uma taxa de juros compostos de 10% ao mês, durante seis meses. Nesse cenário, o cálculo seria:

VF = 20.000 × (1 + 0,10)⁶

VF = 20.000 . 1,771561

VF = 35.431,22

Portanto, ao final dos seis meses, o valor acumulado seria de R$ 35.431,22. Desse total, R$ 20.000,00 correspondem ao capital inicial e R$ 15.431,22 aos juros acumulados no período.

Fórmula da porcentagem

A porcentagem é um dos conceitos mais básicos e utilizados na matemática financeira. Assim mesmo, não possui uma fórmula específica. 

É possível calculá-la, por exemplo, por meio de uma regra de três simples ou multiplicando o valor total pelo percentual desejado e dividindo o resultado por 100.

Também conhecida como percentual ou razão centesimal, a porcentagem representa uma parte de cada 100 partes de um total. Ela pode ser expressa pelo símbolo “%”, em formato decimal ou como fração, e é usada para comparar valores e identificar variações, como aumentos e reduções.

No comércio e no mercado financeiro, a porcentagem aparece em cálculos de descontos, taxas de juros, comissões e participação de produtos no faturamento, entre outras situações.

Exemplo de porcentagem:

Pense no caso de uma empresa com faturamento médio mensal de R$ 300.000,00. Se um de seus produtos representa 20% desse total, o cálculo seria:

20 X 300.000 = 6.000.000 / 100 = 60.000

Portanto, esse produto representa R$ 60.000,00 do faturamento mensal da empresa.

Fórmula de variação percentual

A variação percentual permite calcular quanto um valor aumentou ou diminuiu em relação a um valor inicial. Para isso, é possível utilizar a seguinte fórmula:

Variação percentual = [(valor final − valor inicial) / valor inicial] × 100

O resultado será positivo quando houver aumento e negativo quando houver redução. Se preferir expressar a queda como um percentual positivo, basta calcular a diferença entre os valores e dividir pelo valor inicial.

A variação percentual aparece em diferentes tipos de análise financeira e empresarial. Ela pode ajudar a avaliar mudanças no rendimento de um investimento, no faturamento de uma empresa ou no fluxo de caixa ao longo de determinado período.

Exemplo de variação percentual:

Para facilitar, considere que em dezembro, devido ao Natal, o mesmo produto anterior que costuma gerar um lucro mensal médio de R$60.000,00, acabou gerando R$130.000,00. Nesse caso, para calcular a variação positiva apresentada no período, o cálculo seria:

Variação percentual de aumento = (130.000 - 60.000 / 60.000) . 100

1.1666 . 100 = 116.66%

Portanto, em dezembro, o valor gerado pelo produto aumentou aproximadamente 116,67% em relação à média mensal de R$ 60.000,00.

Agora, imagine que, em janeiro, o valor gerado pelo mesmo produto tenha caído para R$ 20.000,00. Para calcular a redução em relação à média mensal, temos:

Variação percentual de aumento = (60.000 - 20.000 / 60.000) . 100

0,6666 x 100 = 66,67%

Isso significa que o valor gerado em janeiro ficou 66,67% abaixo da média mensal.

Também é possível calcular a queda entre dezembro e janeiro. Nesse caso, dezembro passa a ser o valor inicial e janeiro, o valor final:

(130.000 - 20.000 / 130.000) . 100

0,8461 . 100 = 84,62%

Assim, o valor gerado pelo produto caiu 84,62% de dezembro para janeiro. A diferença entre os resultados ocorre porque cada cálculo utiliza uma base de comparação diferente.

Fórmula de desconto simples racional

O desconto simples racional, também conhecido como desconto real ou desconto por dentro, é calculado com base no valor presente de uma dívida ou obrigação. Ele considera a taxa de juros e o período de antecipação do pagamento.

Existem diferentes fórmulas para calcular esse desconto, conforme os dados disponíveis.

Quando o valor futuro e o valor presente são conhecidos:

• Dr = VF - VP  

Quando o valor presente, a taxa e o prazo são conhecidos:

• Dr = VP × i × n ; 

Quando o valor futuro, a taxa e o prazo são conhecidos:

• Dr = (VF × i × n) / (1 + i × n)

Para calcular o valor presente:

• VP = VF / (1 + i × n) 

Onde:

• Dr: valor do desconto racional;
• VP: valor presente;
• VF: valor futuro ou valor nominal;
• i: taxa de juros por período, em formato decimal;
• n: prazo da antecipação, expresso na mesma unidade de tempo da taxa.

Exemplo de desconto simples racional:

Considere uma promissória de R$ 25.000,00, com vencimento daqui a um ano e taxa de juros de 30% ao ano. Se o pagamento for antecipado em quatro meses, o desconto poderá ser calculado da seguinte forma:

Dados da operação:

• VF = R$ 25.000,00;
• i = 30% ao ano = 0,30;
• n = 4/12 ano.

Aplicando os valores à fórmula:

Dr = (VF × i × n) / (1 + i × n)

Dr = (25.000 × 0,30 × 4/12) / (1 + 0,30 × 4/12)

Dr = 2.475 / 1,10

Dr = R$ 2.272,73

Portanto, o desconto simples racional pela antecipação de quatro meses seria de aproximadamente R$ 2.272,73. O valor a pagar na data da antecipação seria de R$ 22.727,27.

Fórmula de desconto simples comercial

O desconto simples comercial, também chamado de desconto por fora, é calculado sobre o valor nominal do título. Ele considera a taxa de desconto e o prazo de antecipação do pagamento.

A fórmula é:

d = N × i × n

Onde:

• d: valor do desconto;
• N: valor nominal do título;
• i: taxa de desconto por período, em formato decimal;
• n: prazo de antecipação, na mesma unidade de tempo da taxa.

Esse método é usado em operações de desconto de títulos de crédito, como duplicatas e promissórias. Ao antecipar o recebimento, o credor paga um desconto calculado sobre o valor nominal do título.

Exemplo de desconto simples comercial:

Imagine um título de R$ 20.000,00 descontado à taxa de 3% ao mês, com antecipação de 18 dias. Considerando um mês comercial de 30 dias, o cálculo é feito assim:

Dados da operação:

• N = R$ 20.000,00;
• i = 3% ao mês = 0,03;
• n = 18/30 = 0,6 mês.

Como o prazo está expresso em dias, convertemos os 18 dias em fração de mês antes de aplicar a fórmula:

d = N × i × n

d = 20.000 × 0,03 × 0,6

d = R$ 360,00

Portanto, o desconto pela antecipação seria de R$ 360,00. O valor líquido recebido pelo credor seria de R$ 19.640,00.

Como saber qual fórmula usar em matemática financeira?

Para saber qual fórmula usar em matemática financeira, o primeiro passo é identificar o que você precisa calcular e quais informações tem disponíveis. Também é importante verificar o regime de capitalização e se a taxa de juros e o prazo estão na mesma unidade de tempo.

Embora a quantidade de fórmulas possa parecer confusa em um primeiro momento, a escolha fica mais simples quando você entende o problema que precisa resolver. Afinal, essas fórmulas são ferramentas para encontrar respostas a situações financeiras comuns, desde calcular juros até avaliar o valor de um pagamento futuro.

Veja como organizar esse processo.

Identifique os dados da operação

Antes de escolher uma fórmula, identifique o que o problema informa e o que você precisa descobrir. O enunciado costuma apresentar dados como capital inicial, taxa de juros, prazo, valor futuro ou montante.

Se a questão pede o valor dos juros, por exemplo, você precisa saber quais informações estão disponíveis para calcular esse resultado. Já se o objetivo é descobrir quanto uma quantia valerá no futuro, a fórmula deve considerar o capital inicial, a taxa e o período.

Essa distinção ajuda a eliminar fórmulas que não correspondem ao problema e a identificar quais dados ainda precisam ser calculados.

Verifique o regime de capitalização

Outro ponto importante é entender como os juros são calculados ao longo do tempo. Existem dois regimes principais de capitalização:

• Juros simples: são calculados sempre sobre o capital inicial. Por isso, o valor dos juros é igual em cada período, quando a taxa e o prazo são constantes.
• Juros compostos: são calculados sobre o saldo acumulado, que inclui os juros dos períodos anteriores. Por isso, o valor dos juros pode aumentar a cada período.

Essa diferença interfere diretamente na fórmula utilizada. Antes de fazer os cálculos, verifique qual regime se aplica à operação descrita no enunciado.

Padronize a taxa e o prazo

A taxa de juros e o prazo precisam estar expressos em unidades de tempo compatíveis. Se a taxa é mensal, por exemplo, o prazo deve ser informado em meses. Se a taxa é anual, o período deve estar em anos.

Imagine uma aplicação com taxa de 4% ao mês durante um ano. Para usar a fórmula de juros compostos, você pode converter o prazo para 12 meses e expressar a taxa em formato decimal: 0,04.

Essa etapa evita erros no resultado. Também vale conferir se a taxa informada é nominal ou efetiva, pois essa distinção pode exigir uma conversão antes do cálculo.

Aplique a fórmula em um exemplo prático

Depois de identificar os dados da operação, verificar o regime de capitalização e ajustar a taxa e o prazo, é hora de colocar o que você aprendeu em prática com um exemplo de cálculo.

Considere uma aplicação de R$ 20.000,00, com juros compostos de 3% ao mês durante três meses. Para descobrir o montante ao final do período, temos:

Dados da operação:

• Capital inicial (C) = R$ 20.000,00;
• Taxa mensal (i) = 3% = 0,03;
• Prazo (n) = 3 meses.

Como o objetivo é calcular o valor acumulado com juros compostos, usamos a fórmula do montante:

M = C × (1 + i)ⁿ

Substituindo os valores:

• M = 20.000 × (1 + 0,03)³
• M = 20.000 × 1,092727
• M = R$ 21.854,54

Portanto, ao final dos três meses, o montante será de R$ 21.854,54, incluindo R$ 1.854,54 em juros.

Matemática financeira é difícil?

Basta olhar para uma calculadora financeira para perceber que a matemática financeira vai muito além das quatro operações básicas. São diversas fórmulas, conceitos e termos que, à primeira vista, podem até parecer um novo idioma. Mas isso não significa que aprender seja tão complicado quanto parece.

Como vimos ao longo deste artigo, cada fórmula tem uma finalidade e ajuda a resolver um tipo de problema. Compreender os conceitos, reconhecer os dados de cada operação e praticar os cálculos torna esse processo mais simples. Além disso, a matemática financeira está presente em várias situações do cotidiano, mesmo quando não percebemos: ao comparar empréstimos, avaliar descontos ou calcular rendimentos de uma aplicação.

Para continuar aprendendo, vale começar pelos fundamentos e avançar aos poucos, usando exemplos que façam sentido para você. A seguir, veja como aplicar esses passos aos seus estudos.

Quais conhecimentos prévios são necessários?

Você não precisa dominar conteúdos avançados de matemática para começar a estudar matemática financeira. Ter familiaridade com as operações básicas, porcentagens e frações já ajuda bastante. A partir daí, o mais importante é compreender alguns conceitos, como capital, juros, taxa e prazo, e entender como eles se relacionam nos cálculos.

Conhecer as fórmulas mais comuns também ajuda, mas não basta decorá-las. É importante identificar o que cada questão pede e qual fórmula se aplica à situação apresentada.

Com o tempo, ferramentas como o Excel e a calculadora financeira podem facilitar ainda mais o aprendizado. Elas ajudam a automatizar operações, conferir resultados e resolver cálculos mais complexos com agilidade. Por isso, são aliadas tanto de quem está estudando quanto de quem trabalha com finanças.

Pratique com exercícios e situações reais

A melhor maneira de ganhar familiaridade com as fórmulas é praticar. Além de resolver exercícios, você pode aproveitar situações do cotidiano para entender como os cálculos funcionam e para que servem.

Quer alguns exemplos? Calcule o desconto que conseguiu em uma compra, compare as taxas de dois empréstimos ou tente descobrir quanto uma aplicação renderia em determinado período. Notícias sobre inflação, juros e investimentos também podem servir de ponto de partida para pequenos exercícios.

Comece com situações simples e avance conforme ganhar confiança. Ao relacionar as fórmulas a problemas que fazem parte da sua rotina, fica mais fácil compreender os conceitos e reconhecer quando usar cada cálculo.

Como aprender matemática financeira?

Se você chegou até aqui, deve ter percebido que as fórmulas de matemática financeira são ferramentas importantes tanto para quem pretende construir uma carreira na área quanto para quem quer tomar decisões mais conscientes no dia a dia.

Continue estudando e explorando as diferentes aplicações desses cálculos. Quanto mais você conhecer os conceitos e praticar, mais facilidade terá para reconhecer cada situação e escolher a fórmula adequada.

E, se quiser aprofundar seus conhecimentos, dê um pulo no canal da TopInvest no YouTube. Por lá, você encontra aulas gratuitas publicadas toda semana para se preparar para exames de certificação, compreender conceitos financeiros e desenvolver as habilidades necessárias para ir além do básico.

Matemática financeira: o primeiro passo para sua carreira no mercado financeiro

Se você quer trabalhar em bancos ou atuar com investimentos, precisa conhecer matemática financeira. O tema aparece em diferentes níveis de profundidade nos exames de certificação financeira, das provas mais básicas às mais avançadas. Por isso, compreender os conceitos e saber aplicar as fórmulas faz parte da preparação para conquistar sua certificação e construir uma carreira na área.

Para dar esse próximo passo, você pode contar com a TopInvest. Somos a escola que mais aprova profissionais para o mercado financeiro e oferecemos cursos preparatórios para as principais certificações do setor. 

E, para ajudar você a levar os conceitos estudados para o dia a dia profissional, nossos alunos também têm acesso a cursos bônus de Excel e de calculadora financeira. Com eles, fica mais fácil desenvolver habilidades que ajudam a resolver cálculos com agilidade e segurança.